Question
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Bsercizio 4. Sono date le rette
(2pt) Determinare la posizione reciproca tra ed .
(2pt) Calcolare la distanza tra ed .
(iii) (2pt) Trovare, se esiste, una sfera tangente sia ad che ad .

Ask by Crawford Welch. in Italy
Jan 14,2025

Upstudy AI Solution

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Answer

(i) Posizione reciproca tra e :
Le rette e non sono parallele e non si intersecano. Pertanto, sono incidenti.
(ii) Distanza tra ed :
La distanza tra le due rette skew e è:
(iii) Sfera tangente sia a che a :
Esiste una sfera tangente ad entrambe le rette. La sua equazione è:
Questa sfera ha centro nel punto ed un raggio di .

Solution

(i) Posizione reciproca tra e :
Le rette e non sono parallele e non si intersecano. Pertanto, sono rette incidenti.

(ii) Distanza tra ed :
La distanza tra le due rette skew e è:

(iii) Sfera tangente sia a che a :
Esiste una sfera tangente ad entrambe le rette. La sua equazione è:
Questa sfera ha centro nel punto ed un raggio di .

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The Deep Dive

Per determinare la posizione reciproca tra le rette e , iniziamo scrivendo le equazioni dei due segmenti. La retta passa per il punto , dove è un parametro. La retta passa per il punto , dove è un altro parametro. Le due rette sono parallele nel piano e (ossia e sono variabili sprint in y), ma non si intersecano.
Per calcolare la distanza tra ed , possiamo considerare i punti su e su . La distanza tra un punto sulla retta e un punto sulla retta è data dalla formula della distanza euclidea. Sostituendo, otteniamo:
Minimalizzando rispetto a , raggiungiamo una distanza di .
Per la sfera tangente sia a che a , esiste una possibile sfera di centro che giace lungo l’asse di coordinate in modo da essere tangente alle proiezioni delle rette. Le equazioni impongono che la distanza minima dalla sfera sia uguale al raggio . In questo caso, il centro può essere con raggio , in quanto tangente.

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