Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}: 2 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}=-20 $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ : $$ -x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=50 $$. Die Ebene F ist parallel zu $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen der gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . $$ \mathrm{F}:+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{*} $$

Question

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Um die Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung der Normalenvektoren:**
   - Die Normalenvektoren von $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ sind:
     $$
     \mathbf{n}_{1} = (2, -2, -10) \quad \text{und} \quad \mathbf{n}_{2} = (-1, 1, 5)
     $$
   - Da $$ \mathbf{n}_{2} = -\frac{1}{2} \mathbf{n}_{1} $$, sind die Ebenen parallel.

2. **Umformung der Ebenengleichungen:**
   - Um eine einheitliche Darstellung zu haben, multiplizieren wir die Gleichung von $$ \mathrm{E}_{2} $$ mit $$-2$$:
     $$
     -2(-x_{1} + x_{2} + 5x_{3}) = -2(50) \implies 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -100
     $$
   - Jetzt haben wir:
     $$
     \mathrm{E}_{1}: 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -20
     $$
     $$
     \mathrm{E}_{2}': 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -100
     $$

3. **Berechnung des Mittelpunkts:**
   - Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ soll genau mittig zwischen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2}' $$ liegen. Dafür berechnen wir den Mittelwert der rechten Seiten:
     $$
     \frac{-20 + (-100)}{2} = -60
     $$
   - Somit lautet die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
     $$
     2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -60
     $$

**Endgültige Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:**
$$
\mathrm{F}: \quad 2\,x_{1} - 2\,x_{2} - 10\,x_{3} = -60
$$
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ hat die Gleichung: $$ 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -60 $$

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und :
. Die Ebene F ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen der
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .

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Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und : . Die Ebene F ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen der gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .