Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}: 2 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}=-20 \) und \( \mathrm{E}_{2} \) : \( -x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=50 \). Die Ebene F ist parallel zu \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen der gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . \( \mathrm{F}:+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{*} \)

Um die Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung der Normalenvektoren:** - Die Normalenvektoren von \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) sind: \[ \mathbf{n}_{1} = (2, -2, -10) \quad \text{und} \quad \mathbf{n}_{2} = (-1, 1, 5) \] - Da \( \mathbf{n}_{2} = -\frac{1}{2} \mathbf{n}_{1} \), sind die Ebenen parallel. 2. **Umformung der Ebenengleichungen:** - Um eine einheitliche Darstellung zu haben, multiplizieren wir die Gleichung von \( \mathrm{E}_{2} \) mit \(-2\): \[ -2(-x_{1} + x_{2} + 5x_{3}) = -2(50) \implies 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -100 \] - Jetzt haben wir: \[ \mathrm{E}_{1}: 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -20 \] \[ \mathrm{E}_{2}': 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -100 \] 3. **Berechnung des Mittelpunkts:** - Die Ebene \( \mathrm{F} \) soll genau mittig zwischen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2}' \) liegen. Dafür berechnen wir den Mittelwert der rechten Seiten: \[ \frac{-20 + (-100)}{2} = -60 \] - Somit lautet die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \): \[ 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -60 \] **Endgültige Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \):** \[ \mathrm{F}: \quad 2\,x_{1} - 2\,x_{2} - 10\,x_{3} = -60 \]