2) I vettori di $$ \mathbb{R}^{3} $$ $$ \mathbf{v}_{1}=(1,0,1), \mathbf{v}_{2}=(2,1,1), \mathbf{v}_{3}=(0,0,0), \mathbf{v}_{4}=(3,1,2) $$ costituiscono una base di $$ \mathbb{R}^{3} $$. generano lo spazio vettoriale $$ \mathbb{R}^{3} $$. sono linearmente dipendenti. generano un sottospazio vettoriale di $$ \mathbb{R}^{3} $$ avente dimensione 2.

Question

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Vamos a analizar cada una de las afirmaciones sobre los vectores en $$ \mathbb{R}^{3} $$:

1. **Constituyen una base de $$ \mathbb{R}^{3} $$.**
   - **Falso.** Para que un conjunto de vectores sea una base de $$ \mathbb{R}^{3} $$, debe contener exactamente tres vectores linealmente independientes. En este caso, hay cuatro vectores y uno de ellos es el vector nulo $$ \mathbf{v}_{3} = (0,0,0) $$, lo que hace que el conjunto sea linealmente dependiente.

2. **Generan el espacio vectorial $$ \mathbb{R}^{3} $$.**
   - **Falso.** Aunque hay más de tres vectores, la presencia del vector nulo y la dependencia lineal implican que no generan todo $$ \mathbb{R}^{3} $$.

3. **Son linealmente dependientes.**
   - **Verdadero.** La inclusión del vector nulo $$ \mathbf{v}_{3} $$ garantiza que el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

4. **Generan un subespacio vectorial de $$ \mathbb{R}^{3} $$ de dimensión 2.**
   - **Verdadero.** Al analizar los vectores $$ \mathbf{v}_{1} $$, $$ \mathbf{v}_{2} $$ y $$ \mathbf{v}_{4} $$, se puede verificar que existen relaciones de dependencia lineal entre ellos, lo que indica que el subespacio que generan tiene una dimensión menor a 3. De hecho, este subespacio es de dimensión 2.

**Conclusión:**
- **Verdaderas:**
  - Son linealmente dependientes.
  - Generan un subespacio vectorial de $$ \mathbb{R}^{3} $$ de dimensión 2.

- **Falsas:**
  - Constituyen una base de $$ \mathbb{R}^{3} $$.
  - Generan el espacio vectorial $$ \mathbb{R}^{3} $$.
Los vectores son linealmente dependientes y generan un subespacio de $$ \mathbb{R}^{3} $$ de dimensión 2.

I vettori di

costituiscono una base di .
generano lo spazio vettoriale .
sono linearmente dipendenti.
generano un sottospazio vettoriale di avente dimensione 2.

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I vettori di costituiscono una base di . generano lo spazio vettoriale . sono linearmente dipendenti. generano un sottospazio vettoriale di avente dimensione 2.