5.- Dados los siguientes datos, hallar la ecuación de la elipse y dar sus elementos: focos: \( F_{1}(4,0) \) y \( F_{2}(-4,0), P(3,12 / 5) \varepsilon \) elipse.

Para encontrar la ecuación de la elipse y sus elementos, comenzamos identificando algunos datos importantes. 1. **Focos**: Los focos de la elipse son \( F_{1}(4,0) \) y \( F_{2}(-4,0) \). La distancia entre los focos es \( 2c \), donde \( c \) es la distancia desde el centro de la elipse a cada foco. La distancia entre los focos es: \[ 2c = 4 - (-4) = 8 \implies c = 4 \] 2. **Centro**: El centro de la elipse se encuentra en el punto medio entre los focos: \[ C = \left( \frac{4 + (-4)}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0) \] 3. **Ecuación de la elipse**: La forma estándar de la ecuación de una elipse con el centro en el origen y con los focos en el eje \( x \) es: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Donde \( c^2 = a^2 - b^2 \). 4. **Punto en la elipse**: Se nos da un punto \( P(3, \frac{12}{5}) \) que pertenece a la elipse. Usaremos este punto para encontrar \( a \) y \( b \). 5. **Cálculo de \( a \)**: Sabemos que \( c = 4 \), por lo que: \[ c^2 = 16 \implies a^2 - b^2 = 16 \] Ahora, sustituimos el punto \( P(3, \frac{12}{5}) \) en la ecuación de la elipse: \[ \frac{3^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{12}{5}\right)^2}{b^2} = 1 \] Esto se convierte en: \[ \frac{9}{a^2} + \frac{\frac{144}{25}}{b^2} = 1 \] Multiplicamos toda la ecuación por \( 25a^2b^2 \) para eliminar los denominadores: \[ 225b^2 + 144a^2 = 25a^2b^2 \] 6. **Sistema de ecuaciones**: Ahora tenemos dos ecuaciones: 1. \( a^2 - b^2 = 16 \) (1) 2. \( 225b^2 + 144a^2 = 25a^2b^2 \) (2) De la ecuación (1), podemos expresar \( a^2 \) en términos de \( b^2 \): \[ a^2 = b^2 + 16 \] Sustituyendo esto en la ecuación (2): \[ 225b^2 + 144(b^2 + 16) = 25(b^2 + 16)b^2 \] Simplificando: \[ 225b^2 + 144b^2 + 2304 = 25b^4 + 400b^2 \] \[ 369b^2 + 2304 = 25b^4 + 400b^2 \] \[ 0 = 25b^4 + 31b^2 - 2304 \] Sea \( x = b^2 \): \[ 25x^2 + 31x - 2304 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática para resolver: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-2304)}}{2 \cdot 25} \] \[ = \frac{-31 \pm \sqrt{961 + 230400}}{50} = \frac{-31 \pm \sqrt{231361}}{50} \] \[ = \frac{-31 \pm 481}{50} \] Esto nos da dos soluciones: \[ x_1 = \frac{450}{50} = 9 \quad (b^2 = 9 \implies b = 3) \] \[ x_2 = \frac{-512}{50} \quad (no es válido) \] Entonces, \( b^2 = 9 \) y \( b = 3 \). 7. **Encontrar \( a^2 \)**: \[ a^2 = b^2 + 16 = 9 + 16 = 25 \implies a = 5 \] 8. **Ecuación de la elipse**: Ahora podemos escribir la ecuación de la elipse: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] 9. **Elementos de la elipse**: - **Centro**: \( (0, 0) \) - **Focos**: \( F_{1}(4,0) \) y \( F_{2}(-4,0) \) - **Semi-ejes**: \( a = 5 \) (semi-eje mayor) y \( b = 3 \) (semi-eje menor) - **Eje mayor**: \( 10 \) (longitud del eje mayor) - **Eje menor**: \( 6 \) (longitud del eje menor) Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Y sus elementos son los mencionados anteriormente.