Nello spravio wettoriale $$ V_{3} $$ dei vettori geometrici dello spaxio, sia $$ B=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $$ una fissata base ortomormale e siano dati i vettori $$ \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} . $$ Allora: A. \# utetori $$ \vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{\pi} \wedge \vec{v} $$ costituiscono una base di $$ V_{3} $$ B. i vettori $$ \vec{u} \in \vec{v} $$ individuano un angolo acuto C. $$ \vec{u} \cdot \vec{v}-\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|=1+2 \sqrt{2} $$ 1) i vectori $$ \overrightarrow{\boldsymbol{u}} \mathrm{e} \boldsymbol{\vec { * }} $$ individuano un parallelogramma di area $$ \sqrt{2} $$

Question

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Vamos a analizar cada una de las afirmaciones dadas con los vectores $$\vec{u} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$$ y $$\vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$.

### Cálculos Previos

1. **Producto Scalare ($$\vec{u} \cdot \vec{v}$$)**:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (-1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1
   $$

2. **Producto Vectorial ($$\vec{u} \times \vec{v}$$)**:
   $$
   \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   1 & -1 & -1 \
   1 & 1 & 1 \
   \end{vmatrix} = -2\vec{j} + 2\vec{k}
   $$
   $$
   \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
   $$

3. **Longitud de los Vectores**:
   $$
   \|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}
   $$

### Análisis de las Afirmaciones

**A.** *Los vectores $$\vec{u}$$, $$\vec{v}$$ y $$3\pi \wedge \vec{v}$$ constituyen una base de $$V_3$$*.

- **Interpretación**: Asumiendo que $$3\pi \wedge \vec{v}$$ se refiere a una combinación lineal de $$\vec{u} \times \vec{v}$$, estos tres vectores son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de $$V_3$$.
- **Conclusión**: **Verdadero**.

**B.** *Los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ determinan un ángulo agudo*.

- **Cálculo del Coseno del Ángulo**:
  $$
  \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{-1}{3} \Rightarrow \theta > 90^\circ
  $$
- **Conclusión**: **Falso**.

**C.** *$$\vec{u} \cdot \vec{v} - \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 1 + 2\sqrt{2}$$*.

- **Cálculo**:
  $$
  \vec{u} \cdot \vec{v} - \|\vec{u} \times \vec{v}\| = -1 - 2\sqrt{2} \neq 1 + 2\sqrt{2}
  $$
- **Conclusión**: **Falso**.

**1.** *Los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ determinan un paralelogramo de área $$\sqrt{2}$$*.

- **Área del Paralelogramo**:
  $$
  \text{Área} = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = 2\sqrt{2} \neq \sqrt{2}
  $$
- **Conclusión**: **Falso**.

### Resumen

- **A. Verdadera**
- **B. Falsa**
- **C. Falsa**
- **1. Falsa**
Los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ forman una base de $$V_3$$, pero no determinan un ángulo agudo ni un paralelogramo de área $$\sqrt{2}$$.

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