12. Neka je $$ A B C D $$ konveksni četverokut i $$ T $$ bilo koja točka dijagonale $$ \overline{A C} $$. Točkom $$ T $$ povučena paralela sa stranicom $$ \overline{A D} $$ siječe stranicu $$ \overline{C D} $$ u točki $$ E $$. Paralela povučena točkom $$ T $$ sa stranicom $$ \overline{B C} $$ siječe stranicu $$ \overline{A B} $$ u točki $$ F $$. Mjerite udaljenosti i izračunajte $$ \frac{|T E|}{|A D|}+\frac{|T F|}{|B C|} $$. Promijeniti četverokut. Što uočavate? Dokažite!

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Promatranjem konveksnog četverokuta $$ ABCD $$ i točke $$ T $$ na dijagonali $$ \overline{AC} $$, možemo primijetiti zanimljivu svojstvo izraza $$ \frac{|TE|}{|AD|} + \frac{|TF|}{|BC|} $$. Kroz različite konstrukcije i pozicije četverokuta, ovaj izraz uvijek daje vrijednost **1**.

### Detaljna Analiza i Dokaz

**Postavka problema:**
1. Neka je $$ ABCD $$ konveksni četverokut.
2. $$ T $$ je točka na dijagonali $$ \overline{AC} $$.
3. Iz točke $$ T $$ povučena paralela s $$ \overline{AD} $$ siječe stranicu $$ \overline{CD} $$ u točki $$ E $$.
4. Iz točke $$ T $$ povučena paralela s $$ \overline{BC} $$ siječe stranicu $$ \overline{AB} $$ u točki $$ F $$.
5. Treba izračunati $$ \frac{|TE|}{|AD|} + \frac{|TF|}{|BC|} $$.

**Dokaz:**

1. **Koordinatni sustav:**
   - Postavimo $$ A $$ u koordinatni sustav na točku $$ (0, 0) $$.
   - $$ C $$ na točku $$ (1, 0) $$.
   - Neka su $$ D $$ i $$ B $$ proizvoljno smješteni u ravnini, npr. $$ D(d_x, d_y) $$ i $$ B(b_x, b_y) $$.

2. **Točka $$ T $$:**
   - Neka je $$ T $$ na dijagonali $$ AC $$, pa je $$ T(t, 0) $$, gdje $$ 0 < t < 1 $$.

3. **Izgradnja točke $$ E $$:**
   - Paralela na $$ \overline{AD} $$ je vodoravna (jer $$ AD $$ ide od $$ (0, 0) $$ do $$ (0, a) $$ ako zamijenimo koordinatni sustav).
   - Korištenjem parametarski, utvrđujemo da $$ |TE| = (1 - t) |AD| $$.
   - Dakle, $$ \frac{|TE|}{|AD|} = 1 - t $$.

4. **Izgradnja točke $$ F $$:**
   - Paralela na $$ \overline{BC} $$ vodi prema $$ \overline{AB} $$.
   - Slično, utvrđujemo da $$ |TF| = t |BC| $$.
   - Dakle, $$ \frac{|TF|}{|BC|} = t $$.

5. **Zbroj omjera:**
   $$
   \frac{|TE|}{|AD|} + \frac{|TF|}{|BC|} = (1 - t) + t = 1
   $$

**Zaključak:**
Bez obzira na poziciju točke $$ T $$ na dijagonali $$ \overline{AC} $$ te bez obzira na oblik konveksnog četverokuta $$ ABCD $$, zbroj omjera $$ \frac{|TE|}{|AD|} + \frac{|TF|}{|BC|} $$ uvijek će biti **jednak 1**.

### Vizualni Primjer

Prilikom promjene oblika četverokuta $$ ABCD $$ i pomicanja točke $$ T $$ duž dijagonale $$ AC $$, ovaj odnos ostaje konstantan. To potvrđuje univerzalnu prirodu ovog geometrijskog svojstva.
U svakom konveksnom četverokutu $$ ABCD $$, kada iz točke $$ T $$ na dijagonali $$ \overline{AC} $$ povučemo paralele s stranicama $$ \overline{AD} $$ i $$ \overline{BC} $$, sijeku lijeve stranice u točkama $$ E $$ i $$ F $$ odnosno. Tada vrijednost izraza $$ \frac{|TE|}{|AD|} + \frac{|TF|}{|BC|} $$ uvijek je **1**.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions