$$ \lim _{x ightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{B x}-2}{\sqrt{4 x-2}} \sqrt{\sin ext { L'Hopital }} $$

Question

$$ \lim _{x ightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{B x}-2}{\sqrt{4 x-2}} \sqrt{\sin 	ext { L'Hopital }} $$

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Para resolver el límite:

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{B x} - 2}{\sqrt{4 x - 2}}
$$

sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Evaluar el límite directamente

Primero, intentamos sustituir $$ x = 1 $$ en la expresión:

$$
\frac{\sqrt[3]{B \cdot 1} - 2}{\sqrt{4 \cdot 1 - 2}} = \frac{\sqrt[3]{B} - 2}{\sqrt{2}}
$$

### Paso 2: Analizar la indeterminación

Para que el límite exista y no sea una forma indeterminada $$ \frac{0}{0} $$, debemos asegurarnos de que el numerador y el denominador no sean simultáneamente cero.

- **Numerador:** $$ \sqrt[3]{B} - 2 = 0 $$ implica $$ \sqrt[3]{B} = 2 $$, lo que significa que $$ B = 8 $$.
- **Denominador:** $$ \sqrt{2} $$ es una constante no nula.

Si $$ B = 8 $$, entonces el numerador es cero, pero el denominador es $$ \sqrt{2} $$, lo que resulta en:

$$
\frac{0}{\sqrt{2}} = 0
$$

Por lo tanto, el límite es cero cuando $$ B = 8 $$.

### Paso 3: Considerar otros valores de $$ B $$

Si $$ B \neq 8 $$, el límite se evalúa directamente como:

$$
\frac{\sqrt[3]{B} - 2}{\sqrt{2}}
$$

Este es un valor constante dependiendo de $$ B $$.

### Paso 4: Uso de la Regla de L'Hôpital (si fuera necesario)

La Regla de L'Hôpital se aplica típicamente cuando obtenemos una forma indeterminada $$ \frac{0}{0} $$ o $$ \frac{\infty}{\infty} $$. En este caso, solo obtenemos una forma indeterminada $$ \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 $$ cuando $$ B = 8 $$, y ya hemos resuelto el límite sin necesidad de aplicar L'Hôpital.

### Conclusión

El límite dado es:

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{B x} - 2}{\sqrt{4 x - 2}} = \frac{\sqrt[3]{B} - 2}{\sqrt{2}}
$$

- **Si $$ B = 8 $$:** El límite es $$ 0 $$.
- **Si $$ B \neq 8 $$:** El límite es $$ \frac{\sqrt[3]{B} - 2}{\sqrt{2}} $$.
El límite es $$ \frac{\sqrt[3]{B} - 2}{\sqrt{2}} $$. Si $$ B = 8 $$, el límite es $$ 0 $$.

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