را را به ازاى $$ h=0 / r $$ محاسبه كنيد. $$ h=0 $$ $$ \left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y+x+1 \ y(0)=1 \end{array}\right. $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای حل معادله دیفرانسیل داده شده با شرایط اولیه $$ y(0) = 1 $$:

$$
\begin{cases}
y' = y + x + 1 \
y(0) = 1
\end{cases}
$$

### مراحل حل:

1. **بازنویسی معادله:**
   
   ابتدا معادله را به فرم استاندارد معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول درمی‌آوریم:
   
   $$
   y' - y = x + 1
   $$
   
2. **یافتن عامل گردان (Integrating Factor):**

عامل گردان برای معادله به صورت زیر است:
   
   $$
   \mu(x) = e^{-\int P(x) \, dx} = e^{-\int (-1) \, dx} = e^{x}
   $$
   
   اما در این حالت به دلیل منفی موجود در معادله، عامل گردان به شکل زیر خواهد بود:
   
   $$
   \mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^{x}
   $$
   
3. **ضرب کردن معادله در عامل گردان:**
   
   $$
   e^{x} y' - e^{x} y = e^{x} (x + 1)
   $$
   
   سمت چپ معادله اکنون می‌تواند به صورت مشتق کل بیان شود:
   
   $$
   \frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) = e^{x} (x + 1)
   $$
   
4. **انتگرال‌گیری از هر دو طرف:**
   
   $$
   \int \frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) \, dx = \int e^{x} (x + 1) \, dx
   $$
   
   سمت راست را می‌توان با استفاده از روش انتگرال‌گیری به روش جزیی‌ها حل کرد:
   
   $$
   \int e^{x} x \, dx + \int e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C
   $$
   
5. **حل برای $$ y $$:**
   
   $$
   e^{x} y = e^{x} (x - 1) + C
   $$
   
   $$
   y = x - 1 + C e^{-x}
   $$
   
6. **اجرای شرط اولیه:**
   
   از $$ y(0) = 1 $$ استفاده می‌کنیم:
   
   $$
   1 = 0 - 1 + C e^{0} \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2
   $$
   
7. **نوشته نهایی جواب:**
   
   با جایگذاری مقدار $$ C $$:
   
   $$
   y = x - 1 + 2 e^{-x}
   $$
   
   یا می‌توان آن را به صورت:
   
   $$
   y = 2 e^{-x} + x - 1
   $$
   
   نوشت.

### پاسخ نهایی:

$$
y(x) = 2 e^{-x} + x - 1
$$
$$ y(x) = 2 e^{-x} + x - 1 $$

را را به ازاى محاسبه كنيد.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions