$$ \boldsymbol{1}^{a} $$ Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) $$ sabe-se que $$ a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 $$ e que $$ a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 $$. Determine: $$ \boldsymbol{c})(0,2) $$ a soma dos 100 primeiros termos dessa progressão.

Question

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Para resolver a questão, vamos determinar o primeiro termo $$ a_1 $$ e a razão $$ d $$ da progressão aritmética (PA).

**Equações dadas:**
1. $$ a_3 + a_5 + a_9 = 31 $$
2. $$ a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 $$

**Expressando os termos em função de $$ a_1 $$ e $$ d $$:**
- $$ a_3 = a_1 + 2d $$
- $$ a_5 = a_1 + 4d $$
- $$ a_9 = a_1 + 8d $$
- $$ a_2 = a_1 + d $$
- $$ a_4 = a_1 + 3d $$
- $$ a_7 = a_1 + 6d $$
- $$ a_{12} = a_1 + 11d $$

**Substituindo nas equações:**

1. $$ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 $$  
   $$ 3a_1 + 14d = 31 $$ \quad $$(\text{Equação } 1)$$

2. $$ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 $$  
   $$ 4a_1 + 21d = 53 $$ \quad $$(\text{Equação } 2)$$

**Resolvendo o sistema:**

Multiplicando a Equação 1 por 4 e a Equação 2 por 3:
- $$ 12a_1 + 56d = 124 $$
- $$ 12a_1 + 63d = 159 $$

Subtraindo as equações:
- $$ 7d = 35 $$  
  $$ d = 5 $$

Substituindo $$ d = 5 $$ na Equação 1:
- $$ 3a_1 + 70 = 31 $$  
  $$ 3a_1 = -39 $$  
  $$ a_1 = -13 $$

**Calculando a soma dos 100 primeiros termos $$ S_{100} $$:**
$$ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) $$
$$ S_{100} = \frac{100}{2} \left(2(-13) + 99 \times 5\right) $$
$$ S_{100} = 50 \left(-26 + 495\right) $$
$$ S_{100} = 50 \times 469 $$
$$ S_{100} = 23.450 $$

**Resposta:**  
A soma dos 100 primeiros termos da progressão é **23.450**.
The sum of the first 100 terms of the arithmetic progression is 23,450.

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