$$ g(x)=0,1 x^{3}-6 x^{2}+112,5 x $$ onde $$ g(x) $$ es el valor mensual del servicio publicitario (en miles e pesos) y $$ x $$ es la cantidad de meses transcurridos desde enero de 010 . ¿En qué intervalo de tiempo deciden contratar los servicios de empresa de publicidad? ¿Cuántos meses transcurren para que el valor mensual del ser cio publicitario aumente a una tasa de 3,3 miles de pesos al mes

Question

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Para resolver las preguntas planteadas, analizaremos la función dada:

$$ g(x) = 0.1x^{3} - 6x^{2} + 112.5x $$

donde:
- $$ g(x) $$ representa el valor mensual del servicio publicitario en miles de pesos.
- $$ x $$ es el número de meses transcurridos desde enero de 2010.

### 1. **Intervalo de tiempo para contratar los servicios de la empresa de publicidad**

Queremos determinar el intervalo de tiempo en el cual $$ g(x) $$ es positivo, es decir, cuando el valor mensual del servicio publicitario es mayor que cero.

Resolvemos $$ g(x) = 0 $$:

$$ 0.1x^{3} - 6x^{2} + 112.5x = 0 $$
$$ x(0.1x^{2} - 6x + 112.5) = 0 $$

Una de las soluciones es $$ x = 0 $$. Para las demás soluciones, resolvemos la ecuación cuadrática:

$$ 0.1x^{2} - 6x + 112.5 = 0 $$

Multiplicamos por 10 para simplificar:

$$ x^{2} - 60x + 1125 = 0 $$

Calculamos el discriminante:

$$ \Delta = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1125 = 3600 - 4500 = -900 $$

Como el discriminante es negativo, no existen soluciones reales adicionales. Por lo tanto, $$ g(x) > 0 $$ para todo $$ x > 0 $$.

**Conclusión:** La empresa decide contratar los servicios publicitarios desde enero de 2010 en adelante, es decir, para todos los meses $$ x > 0 $$.

### 2. **Meses necesarios para que la tasa de aumento del valor mensual sea de 3.3 mil pesos**

Necesitamos encontrar los valores de $$ x $$ tales que la derivada de $$ g(x) $$, que representa la tasa de cambio del valor mensual, sea igual a 3.3.

Primero, calculamos la derivada $$ g'(x) $$:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(0.1x^{3} - 6x^{2} + 112.5x) = 0.3x^{2} - 12x + 112.5 $$

Igualamos la derivada a 3.3:

$$ 0.3x^{2} - 12x + 112.5 = 3.3 $$
$$ 0.3x^{2} - 12x + 109.2 = 0 $$

Multiplicamos por 10 para simplificar:

$$ 3x^{2} - 120x + 1092 = 0 $$

Dividimos por 3:

$$ x^{2} - 40x + 364 = 0 $$

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$$ x = \frac{40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot 1 \cdot 364}}{2} $$
$$ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1456}}{2} $$
$$ x = \frac{40 \pm \sqrt{144}}{2} $$
$$ x = \frac{40 \pm 12}{2} $$

Obtenemos dos soluciones:

$$ x_1 = \frac{40 + 12}{2} = 26 $$
$$ x_2 = \frac{40 - 12}{2} = 14 $$

**Conclusión:** Se necesitan **14 meses** y **26 meses** desde enero de 2010 para que la tasa de aumento del valor mensual del servicio publicitario sea de 3.3 mil pesos al mes.
La empresa decide contratar los servicios publicitarios desde enero de 2010 en adelante. Se necesitan 14 y 26 meses desde enero de 2010 para que el valor mensual del servicio aumente a una tasa de 3.3 mil pesos al mes.

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