3. Para cada uno de los siguientes inctıos, trace la gráfica y determine la ecuación de la circunferencia sujeta a las siguientes condiciones. a) Los extremos de uno de sus diámetros son $$ A(3,5) $$ y $$ B(-3,-5) $$ b) Su radio es igual a $$ \sqrt{11} $$ y su centro está en la intersección de las rectas: $$ 3 x-5 y=0 \quad y \quad 4 x-7 y=2 $$ c) Su centro está en el punto $$ (1,12) $$ y una recta tangente tiene por ecuación: $$ 9 x-2 y=0 $$ d) Se centro está en el origen y una recta tangente tiene por ecuación: $$ y=-4 $$

Question

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a) Dados los extremos de un diámetro $$ A(3,5) $$ y $$ B(-3,-5) $$, se calcula el centro $$ C $$ (el punto medio) y el radio.

- Centro:  
  $$
  C = \left( \frac{3 + (-3)}{2}, \frac{5 + (-5)}{2} \right) = (0,0)
  $$

- Radio:  
  La distancia $$ AB $$ es
  $$
  AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (5 - (-5))^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136}
  $$
  Por ser $$ AB $$ un diámetro, el radio $$ r $$ es
  $$
  r = \frac{\sqrt{136}}{2} = \sqrt{34}
  $$

La ecuación de la circunferencia es:
$$
x^2+y^2=34
$$

---

b) Se tiene el radio $$ r=\sqrt{11} $$ y el centro $$ (h,k) $$ se encuentra en la intersección de las rectas
$$
3x-5y=0 \quad \text{y} \quad 4x-7y=2.
$$

- Para encontrar el centro, expresemos $$ x $$ de la primera ecuación:
  $$
  3x = 5y \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5}{3}y.
  $$
  Sustituyendo en la segunda ecuación:
  $$
  4\left(\frac{5}{3}y\right) - 7y=2 \quad \Rightarrow \quad \frac{20}{3}y-7y = 2.
  $$
  Escribiendo con denominador común:
  $$
  \frac{20y-21y}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{-y}{3}=2 \quad \Rightarrow \quad y=-6.
  $$
  Entonces,
  $$
  x=\frac{5}{3}(-6)=-10.
  $$

El centro es $$ (-10,-6) $$ y la ecuación es:
$$
(x+10)^2+(y+6)^2=11.
$$

---

c) El centro está en $$ (1,12) $$ y una recta tangente es $$ 9x-2y=0 $$.

Para una tangente, la distancia del centro a la recta es igual al radio. La distancia $$ d $$ desde el punto $$ (1,12) $$ a la recta $$ 9x-2y=0 $$ se calcula como:
$$
d = \frac{\left|9(1)-2(12)+0\right|}{\sqrt{9^2+(-2)^2}} = \frac{|9-24|}{\sqrt{81+4}} = \frac{15}{\sqrt{85}}.
$$
Entonces, el radio $$ r $$ es:
$$
r = \frac{15}{\sqrt{85}} = \sqrt{\frac{225}{85}} = \sqrt{\frac{45}{17}}.
$$

La ecuación de la circunferencia es:
$$
(x-1)^2+(y-12)^2=\frac{45}{17}.
$$

---

d) El centro de la circunferencia está en el origen $$ (0,0) $$ y una recta tangente es $$ y=-4 $$.

La distancia desde el centro al tangente es:
$$
r = \left|0 - (-4)\right| = 4.
$$
Por lo tanto, la ecuación es:
$$
x^2+y^2=16.
$$
a) Centro en (0,0) y radio $$ \sqrt{34} $$. Ecuación: $$ x^2 + y^2 = 34 $$. b) Centro en (-10, -6) y radio $$ \sqrt{11} $$. Ecuación: $$ (x + 10)^2 + (y + 6)^2 = 11 $$. c) Centro en (1,12) y radio $$ \sqrt{\frac{45}{17}} $$. Ecuación: $$ (x - 1)^2 + (y - 12)^2 = \frac{45}{17} $$. d) Centro en (0,0) y radio 4. Ecuación: $$ x^2 + y^2 = 16 $$.

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