Jika a dan b bilangan bulat sehingga $$ \sqrt{2021+2 \sqrt{2020}} $$ merupakan solusi kuadrat $$ x^{2}+a x+b=0 $$, maka nilai b-a adalah ...

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Kita tahu bahwa bilangan

$$
\sqrt{2021+2\sqrt{2020}}
$$

dapat diekspresikan dalam bentuk penjumlahan akar sederhana. Misalkan

$$
\sqrt{2021+2\sqrt{2020}} = \sqrt{p}+\sqrt{q}.
$$

Mengkuadratkan kedua sisi, kita peroleh

$$
2021+2\sqrt{2020} = p+q+2\sqrt{pq}.
$$

Dengan menyamakan bagian rasional dan irasional, didapatkan sistem persamaan

$$
\begin{cases}
p+q=2021,\[1mm]
\sqrt{pq}=\sqrt{2020}\quad\text{atau}\quad pq=2020.
\end{cases}
$$

Karena $$2020=1\times2020$$ dan $$1+2020=2021$$, maka dapat dipilih $$p=1$$ dan $$q=2020$$. Sehingga

$$
\sqrt{2021+2\sqrt{2020}} = \sqrt{1}+\sqrt{2020} = 1+\sqrt{2020}.
$$

Misalkan $$x = 1+\sqrt{2020}$$ adalah salah satu solusi dari persamaan kuadrat

$$
x^2+ax+b=0.
$$

Karena koefisien $$a$$ dan $$b$$ adalah bilangan bulat, maka solusi lainnya pasti adalah konjugatnya, yaitu

$$
x = 1-\sqrt{2020}.
$$

Selanjutnya, kita gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Jika $$x_1=1+\sqrt{2020}$$ dan $$x_2=1-\sqrt{2020}$$, maka:

- Jumlah akar:

$$
x_1+x_2 = (1+\sqrt{2020})+(1-\sqrt{2020}) = 2.
$$

Sedangkan dalam persamaan kuadrat, jumlah akar adalah

$$
-x_1 - x_2 = -a,
$$

sehingga

$$
-a=2 \quad\Longrightarrow\quad a=-2.
$$

- Hasil kali akar:

$$
x_1\cdot x_2 = (1+\sqrt{2020})(1-\sqrt{2020}) = 1-2020 = -2019.
$$

Sedangkan hasil kali akar pada persamaan kuadrat adalah $$b$$, sehingga

$$
b=-2019.
$$

Terakhir, nilai yang diminta adalah

$$
b-a = (-2019)-(-2)= -2019+2 = -2017.
$$

Jadi, nilai $$b-a$$ adalah $$-2017$$.
$$ b - a = -2017 $$

Jika a dan b bilangan bulat sehingga
merupakan solusi
kuadrat , maka nilai
b-a adalah …