3) Sia \( f \) la funzione definita dalla legge \( f(x)=x+\log x \). Si può affermare che \( f \) ammette massimo assoluto nell'intervallo [1,2]? A) sì, e il punto di massimo è 2 . B) sì, e il punto di massimo è 1 . C) no.

Per determinare se la funzione \( f(x) = x + \log x \) ammette un massimo assoluto nell'intervallo \([1, 2]\), seguiamo questi passaggi: 1. **Continuità e compattezza dell'intervallo:** - La funzione \( f(x) \) è continua su \([1, 2]\). - L'intervallo \([1, 2]\) è compatto (chiuso e limitato). - Per il teorema di Weierstrass, una funzione continua su un insieme compatto ammette sempre un massimo e un minimo assoluti. 2. **Monotonicità della funzione:** - Calcoliamo la derivata di \( f(x) \): \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{x} \] - Poiché \( x > 0 \) nell'intervallo considerato, \( f'(x) > 0 \). Questo significa che \( f(x) \) è strettamente crescente su \([1, 2]\). 3. **Determinazione del punto di massimo:** - Poiché \( f(x) \) è crescente, il massimo assoluto si verifica nell'estremo superiore dell'intervallo. - Calcoliamo \( f(2) = 2 + \log 2 \). - Confrontando con \( f(1) = 1 + \log 1 = 1 \), risulta evidente che \( f(2) > f(1) \). Pertanto, la funzione \( f \) ammette un massimo assoluto nell'intervallo \([1, 2]\) e questo massimo si verifica nel punto \( x = 2 \). **Risposta corretta:** **A) sì, e il punto di massimo è 2.**