\( \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 / ( e ^ { x } - 1 ) d x \)

La integral que has planteado es: \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^{x} - 1} \, dx \] Para evaluar esta integral, consideremos el comportamiento de la función integrando en los límites de integración: 1. **Cuando \( x \) se aproxima a 0:** Para valores pequeños de \( x \), podemos aproximar \( e^{x} \) mediante su expansión en serie de Taylor: \[ e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots \] Por lo tanto: \[ e^{x} - 1 \approx x \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{e^{x} - 1} \approx \frac{1}{x} \] La integral cerca de 0 se comporta como \( \int \frac{1}{x} \, dx \), que es logarítmica y, por lo tanto, tiende a infinito cuando \( x \) se aproxima a 0. 2. **Cuando \( x \) tiende a infinito:** Para valores grandes de \( x \), \( e^{x} \) crece muy rápidamente, por lo que: \[ \frac{1}{e^{x} - 1} \approx e^{-x} \] La integral \( \int e^{-x} \, dx \) converge y tiende a cero cuando \( x \) se aproxima a infinito. **Conclusión:** El comportamiento de la integral está dominado por el comportamiento cercano a \( x = 0 \), donde la función integrando tiende a infinito de forma no integrable. Por lo tanto, la integral original diverge. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^{x} - 1} \, dx \quad \text{es divergente.} \]