4. \( h(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+3 x-4 \) dividido por \( (x+2) \)

Para dividir el polinomio \( h(x) = 2x^4 - 3x^2 + 3x - 4 \) entre \( (x + 2) \), podemos utilizar la división sintética o la división larga de polinomios. Aquí, utilizaremos la división larga. 1. **Dividimos el primer término**: - El primer término de \( h(x) \) es \( 2x^4 \) y el primer término de \( (x + 2) \) es \( x \). - Dividimos \( 2x^4 \) entre \( x \) para obtener \( 2x^3 \). 2. **Multiplicamos y restamos**: - Multiplicamos \( 2x^3 \) por \( (x + 2) \): \[ 2x^3 \cdot (x + 2) = 2x^4 + 4x^3 \] - Restamos esto de \( h(x) \): \[ (2x^4 - 3x^2 + 3x - 4) - (2x^4 + 4x^3) = -4x^3 - 3x^2 + 3x - 4 \] 3. **Repetimos el proceso**: - Ahora tomamos el primer término \( -4x^3 \) y lo dividimos entre \( x \): \[ -4x^3 \div x = -4x^2 \] - Multiplicamos \( -4x^2 \) por \( (x + 2) \): \[ -4x^2 \cdot (x + 2) = -4x^3 - 8x^2 \] - Restamos: \[ (-4x^3 - 3x^2 + 3x - 4) - (-4x^3 - 8x^2) = 5x^2 + 3x - 4 \] 4. **Continuamos**: - Dividimos \( 5x^2 \) entre \( x \): \[ 5x^2 \div x = 5x \] - Multiplicamos \( 5x \) por \( (x + 2) \): \[ 5x \cdot (x + 2) = 5x^2 + 10x \] - Restamos: \[ (5x^2 + 3x - 4) - (5x^2 + 10x) = -7x - 4 \] 5. **Último paso**: - Dividimos \( -7x \) entre \( x \): \[ -7x \div x = -7 \] - Multiplicamos \( -7 \) por \( (x + 2) \): \[ -7 \cdot (x + 2) = -7x - 14 \] - Restamos: \[ (-7x - 4) - (-7x - 14) = 10 \] Finalmente, hemos terminado la división. El cociente es \( 2x^3 - 4x^2 + 5x - 7 \) y el residuo es \( 10 \). Por lo tanto, podemos expresar la división como: \[ h(x) = (x + 2)(2x^3 - 4x^2 + 5x - 7) + 10 \]