6. $$ \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y}} \cdot \sqrt[12]{\frac{27 x^{2}}{16 y}}: \sqrt[6]{\frac{9 x^{5}}{4 y^{2}}} $$ 7. $$ \sqrt[8]{\frac{x^{3}+x^{2} y}{x-y}}: \sqrt[4]{\frac{x^{2}+x y}{x-y}} $$

Question

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**Problema 6**

Calcoliamo l'espressione:

$$
\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y}} \cdot \sqrt[12]{\frac{27 x^{2}}{16 y}} \div \sqrt[6]{\frac{9 x^{5}}{4 y^{2}}}
$$

Espressiamo tutte le radici come potenze:

$$
\left(\frac{x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{27 x^{2}}{16 y}\right)^{\frac{1}{12}} \div \left(\frac{9 x^{5}}{4 y^{2}}\right)^{\frac{1}{6}}
$$

Semplifichiamo ciascun termine separatamente:

1. **Primo termine:**
$$
\left(\frac{x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \cdot y^{-\frac{1}{3}}
$$

2. **Secondo termine:**
$$
\left(\frac{27 x^{2}}{16 y}\right)^{\frac{1}{12}} = 27^{\frac{1}{12}} \cdot x^{\frac{2}{12}} \cdot 16^{-\frac{1}{12}} \cdot y^{-\frac{1}{12}} = 3^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{12}} \cdot y^{-\frac{1}{12}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot y^{-\frac{1}{12}}
$$

3. **Terzo termine (denominatore):**
$$
\left(\frac{9 x^{5}}{4 y^{2}}\right)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot 4^{-\frac{1}{6}} \cdot y^{-\frac{2}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{2}{6}} \cdot y^{-\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot y^{-\frac{1}{3}}
$$

Ora, riscriviamo l'espressione completa combinando i termini:

$$
\frac{ \left( x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{1}{3}} \right) \cdot \left( 3^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{6}} 2^{-\frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{12}} \right) }{ 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{6}} 2^{-\frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{3}} }
$$

Semplifichiamo gli esponenti:

- **Per $$ x $$:**
$$
\frac{2}{3} + \frac{1}{6} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} - \frac{5}{6} = 0
$$

- **Per $$ y $$:**
$$
- \frac{1}{3} - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}
$$

- **Per i coefficienti numerici:**
$$
3^{\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{12}} \cdot 2^{0} = 3^{-\frac{1}{12}}
$$

Quindi, l'espressione si semplifica a:

$$
\frac{1}{3^{\frac{1}{12}} \cdot y^{\frac{5}{12}}}
$$

**Risultato Finale:**

$$
\frac{1}{3^{\frac{1}{12}} \, y^{\frac{5}{12}}}
$$

---

**Problema 7**

Calcoliamo l'espressione:

$$
\sqrt[8]{\frac{x^{3}+x^{2} y}{x-y}} \div \sqrt[4]{\frac{x^{2}+x y}{x-y}}
$$

Espressiamo le radici come potenze:

$$
\left( \frac{x^{3} + x^{2} y}{x - y} \right)^{\frac{1}{8}} \div \left( \frac{x^{2} + x y}{x - y} \right)^{\frac{1}{4}}
$$

Semplifichiamo le frazioni nel numeratore e nel denominatore:

1. **Numeratore:**
$$
x^{3} + x^{2} y = x^{2}(x + y)
$$
$$
\frac{x^{3} + x^{2} y}{x - y} = \frac{x^{2}(x + y)}{x - y}
$$

2. **Denominatore:**
$$
x^{2} + x y = x(x + y)
$$
$$
\frac{x^{2} + x y}{x - y} = \frac{x(x + y)}{x - y}
$$

Ora, riscriviamo l'espressione completa:

$$
\left( \frac{x^{2}(x + y)}{x - y} \right)^{\frac{1}{8}} \div \left( \frac{x(x + y)}{x - y} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{x^{2}(x + y)}{x - y} \right)^{\frac{1}{8}} \cdot \left( \frac{x(x + y)}{x - y} \right)^{-\frac{1}{4}}
$$

Espandiamo gli esponenti:

$$
x^{\frac{2}{8}} \cdot (x + y)^{\frac{1}{8}} \cdot (x - y)^{-\frac{1}{8}} \cdot x^{-\frac{1}{4}} \cdot (x + y)^{-\frac{1}{4}} \cdot (x - y)^{\frac{1}{4}}
$$

Semplifichiamo gli esponenti:

- **Per $$ x $$:**
$$
\frac{2}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0
$$

- **Per $$ x + y $$:**
$$
\frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}
$$

- **Per $$ x - y $$:**
$$
- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{8}
$$

Quindi, l'espressione si semplifica a:

$$
\frac{(x - y)^{\frac{1}{8}}}{(x + y)^{\frac{1}{8}}} = \sqrt[8]{\frac{x - y}{x + y}}
$$

**Risultato Finale:**

$$
\sqrt[8]{\frac{x - y}{x + y}}
$$
**Problema 6** $$ \frac{1}{3^{\frac{1}{12}} \, y^{\frac{5}{12}}} $$ **Problema 7** $$ \sqrt[8]{\frac{x - y}{x + y}} $$

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