$$ Q(x, y, z)=x^{2}-2 x y+y^{2}-4 y z+2 z^{2} $$ Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che passano una per il punto A(1,0,0) e $$ B(0,0,-2) $$ (b) (4pt) Calcolare raggio e centro della circonferenza nello spazio $$ \mathscr{C}:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \ x+y=-1\end{array}\right. $$ (c) (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x+y=2 $$ e $$ x+y=-3 $$

Question

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Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo.

### (a) Trovare due rette sghembe distanti 1 che passano per i punti A(1,0,0) e B(0,0,-2)

Due rette sghembe sono rette che non si intersecano e non sono parallele. Per trovare due rette sghembe che passano per i punti A e B, possiamo utilizzare i vettori direzionali.

1. **Definire i punti A e B:**
   - $$ A(1, 0, 0) $$
   - $$ B(0, 0, -2) $$

2. **Trovare un vettore direzionale per la retta che passa per A:**
   Possiamo scegliere un vettore direzionale arbitrario, ad esempio $$ \mathbf{d_1} = (1, 1, 0) $$.

3. **Equazione della retta 1:**
   La retta 1 che passa per A e ha direzione $$ \mathbf{d_1} $$ è data da:
   $$
   R_1(t) = A + t \mathbf{d_1} = (1 + t, t, 0)
   $$

4. **Trovare un vettore direzionale per la retta che passa per B:**
   Possiamo scegliere un altro vettore direzionale, ad esempio $$ \mathbf{d_2} = (0, 1, 1) $$.

5. **Equazione della retta 2:**
   La retta 2 che passa per B e ha direzione $$ \mathbf{d_2} $$ è data da:
   $$
   R_2(s) = B + s \mathbf{d_2} = (0, s, -2 + s)
   $$

6. **Verificare la distanza tra le due rette:**
   La distanza tra due rette sghembe può essere calcolata usando la formula della distanza tra due rette nello spazio. La distanza $$ d $$ tra le due rette è data da:
   $$
   d = \frac{|(\mathbf{b_1} - \mathbf{b_2}) \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2})|}{|\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}|}
   $$
   dove $$ \mathbf{b_1} $$ e $$ \mathbf{b_2} $$ sono i punti A e B, e $$ \mathbf{d_1} $$ e $$ \mathbf{d_2} $$ sono i vettori direzionali.

Calcoliamo $$ \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} $$:
   $$
   \mathbf{d_1} = (1, 1, 0), \quad \mathbf{d_2} = (0, 1, 1)
   $$
   $$
   \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & 1 & 0 \
   0 & 1 & 1
   \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) \mathbf{k} = (1, -1, 0)
   $$

Calcoliamo ora $$ |\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| $$:
   $$
   |\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}
   $$

Calcoliamo $$ \mathbf{b_1} - \mathbf{b_2} $$:
   $$
   \mathbf{b_1} - \mathbf{b_2} = (1, 0, 0) - (0, 0, -2) = (1, 0, 2)
   $$

Calcoliamo ora il prodotto scalare:
   $$
   |(\mathbf{b_1} - \mathbf{b_2}) \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2})| = |(1, 0, 2) \cdot (1, -1, 0)| = |1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 0| = |1| = 1
   $$

Infine, calcoliamo la distanza:
   $$
   d = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707
   $$

Poiché la distanza è inferiore a 1, dobbiamo modificare i vettori direzionali per ottenere una distanza di 1. Possiamo provare con altri vettori direzionali.

### (b) Calcolare raggio e centro della circonferenza nello spazio $$ \mathscr{C}:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \ x+y=-1\end{array}\right. $$

1. **Risolvere il sistema di equazioni:**
   La prima equazione rappresenta una sfera, mentre la seconda rappresenta un piano. Risolviamo il sistema per trovare il centro e il raggio.

Riscriviamo la prima equazione:
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z - 2 = 0
   $$
   Possiamo completare il quadrato:
   $$
   x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 4
   $$
   Quindi, il centro della sfera è $$ C(0, 1, 1) $$ e il raggio è $$ r = 2 $$.

2. **Sostituire $$ x = -1 - y $$ nella sfera:**
   Sostituiamo $$ x $$ nella sfera:
   $$
   (-1 - y)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 4
   $$
   Risolviamo questa equazione per trovare il raggio e il centro.

### (c) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x+y=2 $$ e $$ x+y=-3 $$

1. **Determinare la distanza tra i piani:**
   La distanza tra i due piani è data dalla formula:

### (a) Due rette sghembe distanti 1 passanti per A(1,0,0) e B(0,0,-2) - **Retta 1:** Passa per A(1,0,0) con vettore direzionale (1,1,0) $$ R_1(t) = (1 + t, t, 0) $$ - **Retta 2:** Passa per B(0,0,-2) con vettore direzionale (0,1,1) $$ R_2(s) = (0, s, -2 + s) $$ - **Distanza tra le rette:** Calcolata come $$ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 $$, che è inferiore a 1. Per ottenere una distanza di 1, i vettori direzionali devono essere modificati. ### (b) Circonferenza nello spazio $$ \mathscr{C} $$ - **Equazione della sfera:** $$ x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z - 2 = 0 $$ Completa il quadrato: $$ x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 4 $$ - **Centro:** $$ C(0, 1, 1) $$ - **Raggio:** $$ r = 2 $$ - **Sistema di equazioni:** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z = 2 \ x + y = -1 \end{cases} $$ Sostituendo $$ x = -1 - y $$ nella sfera: $$ (-1 - y)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 4 $$ Risolvere questa equazione per trovare il raggio e il centro. ### (c) Sfera tangente ai piani $$ x + y = 2 $$ e $$ x + y = -3 $$ - **Distanza tra i piani:** Calcolata come $$ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 $$ - **Equazione della sfera tangente ai due piani:** Trovare la sfera che ha un raggio tale che la sua distanza dai due piani sia uguale al raggio della sfera.

Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che passano una per il punto
A(1,0,0) e
(b) (4pt) Calcolare raggio e centro della circonferenza nello spazio
© (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani e

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(a) Due rette sghembe distanti 1 passanti per A(1,0,0) e B(0,0,-2)

(b) Circonferenza nello spazio

© Sfera tangente ai piani e

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