18. Dada las proposiciones $$ p $$ y $$ q $$ se define el operador lógico $$ \uparrow $$ mediante $$ p \uparrow q \equiv \sim p \wedge \sim q $$. Indique la proposición que es equivalente a: $$ p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) $$ $$ \begin{array}{ll} ext { A) } p \uparrow q & ext { B) } \sim p \uparrow q \ ext { C) } p \uparrow \sim q & ext { D) } \sim p \uparrow \sim q \ ext { E) } \sim(p \uparrow q)\end{array} $$

Question

18. Dada las proposiciones $$ p $$ y $$ q $$ se define el operador lógico $$ \uparrow $$ mediante $$ p \uparrow q \equiv \sim p \wedge \sim q $$. Indique la proposición que es equivalente a: $$ p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) $$ $$ \begin{array}{ll}	ext { A) } p \uparrow q & 	ext { B) } \sim p \uparrow q \ 	ext { C) } p \uparrow \sim q & 	ext { D) } \sim p \uparrow \sim q \ 	ext { E) } \sim(p \uparrow q)\end{array} $$

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Para resolver el problema, primero necesitamos entender la expresión $$ p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) $$ y luego buscar su equivalencia utilizando el operador lógico $$ \uparrow $$.

1. **Descomponer la expresión**:
   - La expresión $$ p \leftrightarrow q $$ es verdadera si $$ p $$ y $$ q $$ son ambos verdaderos o ambos falsos. Su negación, $$ \sim(p \leftrightarrow q) $$, es verdadera si $$ p $$ y $$ q $$ tienen valores diferentes (es decir, uno es verdadero y el otro es falso).
   - Por lo tanto, $$ \sim(p \leftrightarrow q) $$ se puede expresar como $$ (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q) $$.

2. **Sustituyendo en la expresión original**:
   - Ahora sustituimos esto en la expresión original:
   $$
   p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) = p \wedge ((p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q))
   $$
   - Aplicando la propiedad distributiva:
   $$
   = (p \wedge (p \wedge \sim q)) \vee (p \wedge (\sim p \wedge q))
   $$
   - Simplificando:
   $$
   = (p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim p \wedge q)
   $$
   - El segundo término $$ (p \wedge \sim p) $$ es siempre falso, por lo que se elimina:
   $$
   = p \wedge \sim q
   $$

3. **Usando el operador $$ \uparrow $$**:
   - Recordemos que $$ p \uparrow q \equiv \sim p \wedge \sim q $$.
   - Para encontrar $$ p \wedge \sim q $$ en términos de $$ \uparrow $$, podemos usar la equivalencia:
   $$
   p \wedge \sim q = \sim(\sim p \vee q)
   $$
   - Esto se puede reescribir usando $$ \uparrow $$:
   $$
   p \wedge \sim q = \sim(p \uparrow q)
   $$

4. **Conclusión**:
   - La proposición equivalente a $$ p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) $$ es $$ \sim(p \uparrow q) $$.

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**E) $$ \sim(p \uparrow q) $$**.
La proposición equivalente a $$ p \wedge \sim(p \leftrightarrow q) $$ es $$ \sim(p \uparrow q) $$.

Dada las proposiciones y se
define el operador lógico mediante
.
Indique la proposición que es
equivalente a:

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Dada las proposiciones y se define el operador lógico mediante . Indique la proposición que es equivalente a: