Esercizio 1. Spiegare perché esiste un endomorfismo di che verifica le seguenti proprietà:

è simmetrico

il nucleo di è il sottospazio rivi esplicitamente

il vettore ha per immagine sotto il vettore . canonica base
Calcolare esplicitamente l’espressione di .
Trovare poi, se possibile, una base di fatta da autovettori di .

Ask by Turnbull Schwartz. in Italy

Jan 21,2025

Question

Esercizio 1. Spiegare perché esiste un endomorfismo di che verifica le seguenti proprietà:

è simmetrico

il nucleo di è il sottospazio rivi esplicitamente

il vettore ha per immagine sotto il vettore . canonica base
Calcolare esplicitamente l’espressione di .
Trovare poi, se possibile, una base di fatta da autovettori di .

Ask by Turnbull Schwartz. in Italy

Jan 21,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Per dimostrare l'esistenza di un endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfa le proprietà richieste e calcolare la sua forma esplicita, procediamo come segue:

### 1. **Esistenza di $$ F $$**
Consideriamo che $$ F $$ è un endomorfismo lineare simmetrico. Dato che il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ U = \{(x, y, z) \mid x + y - z = 0\} $$, che è uno spazio vettoriale di dimensione 2, possiamo inferire che l'immagine di $$ F $$ è un sottospazio di dimensione 1.

Sappiamo inoltre che il vettore $$ v = (1, 1, -1) $$ non appartiene a $$ U $$ e che $$ F(v) = -3v $$. Quindi, possiamo definire $$ F $$ come la mappa che proietta ogni vettore su $$ v $$ scalato per $$-3$$.

### 2. **Calcolo Esplicito di $$ F $$**
La proiezione lineare su $$ v $$ è data da:
$$
\text{Proj}_v(w) = \frac{w \cdot v}{v \cdot v} v
$$
Dove $$ w = (x, y, z) $$ è un vettore generale di $$ \mathbb{R}^3 $$. Calcoliamo:
$$
v \cdot v = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3
$$
Quindi:
$$
\text{Proj}_v(w) = \frac{x + y - z}{3} (1, 1, -1)
$$
Poiché $$ F(w) = -3 \cdot \text{Proj}_v(w) $$, otteniamo:
$$
F(w) = -3 \cdot \frac{x + y - z}{3} (1, 1, -1) = -(x + y - z)(1, 1, -1)
$$
Espandendo, la matrice rappresentativa di $$ F $$ nella base canonica è:
$$
F = - \begin{bmatrix}
1 \
1 \
-1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 1 \
-1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 
\end{bmatrix}
$$
Quindi:
$$
F = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 1 \
-1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 
\end{bmatrix}
$$

### 3. **Base di Autovettori di $$ F $$**
Poiché $$ F $$ è simmetrico, è diagonalizzabile e possiamo trovare una base di autovettori ortogonali.

- **Autovettore con autovalore $$-3$$:** Il vettore $$ v = (1, 1, -1) $$ è già dato con $$ F(v) = -3v $$.

- **Autovettori con autovalore $$0$$:** Tutti i vettori in $$ U $$ sono nel nucleo di $$ F $$, quindi qualsiasi vettore in $$ U $$ è un autovettore con autovalore $$0$$. Per ottenere una base ortogonale:
  
  - **Primo autovettore:** $$ u_1 = (1, -1, 0) $$. Verifichiamo che appartiene a $$ U $$:
    $$
    1 + (-1) - 0 = 0 \quad \text{(vero)}
    $$
  
  - **Secondo autovettore:** $$ u_2 = (1, 1, 2) $$. Verifichiamo:
    $$
    1 + 1 - 2 = 0 \quad \text{(vero)}
    $$
  
  Inoltre, $$ u_1 $$ e $$ u_2 $$ sono ortogonali:
  $$
  u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 1 - 1 + 0 = 0
  $$
  
Quindi, una base di $$ \mathbb{R}^3 $$ fatta da autovettori di $$ F $$ è:
$$
\left\{ (1, 1, -1),\ (1, -1, 0),\ (1, 1, 2) \right\}
$$

### **Conclusione**
L'endomorfismo $$ F $$ che soddisfa le condizioni date è rappresentato dalla matrice:
$$
F = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 1 \
-1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 
\end{bmatrix}
$$
e una sua base di autovettori è costituita dai vettori $$ (1, 1, -1) $$, $$ (1, -1, 0) $$ e $$ (1, 1, 2) $$.
Esiste un endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^{3} $$ che è simmetrico, ha nucleo $$ U = \{(x, y, z) \mid x + y - z = 0\} $$, e manda il vettore $$ v = (1,1,-1) $$ in $$ -3v $$. La matrice di $$ F $$ nella base canonica è: $$ F = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \ -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ Una base di $$ \mathbb{R}^{3} $$ fatta da autovettori di $$ F $$ è: $$ \left\{ (1, 1, -1),\ (1, -1, 0),\ (1, 1, 2) \right\} $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Esistenza di

2. Calcolo Esplicito di

3. Base di Autovettori di

Conclusione

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