Esercizio 1. Spiegare perché esiste un endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{3} \) che verifica le seguenti proprietà: - \( F \) è simmetrico - il nucleo di \( F \) è il sottospazio \( U=\{(x, y, z) \mid x+y-z=0\} \) rivi esplicitamente - il vettore \( v=(1,1,-1) \) ha per immagine sotto \( F \) il vettore \( -3 v \). canonica base Calcolare esplicitamente l'espressione di \( F \). Trovare poi, se possibile, una base di \( \mathbb{R}^{3} \) fatta da autovettori di \( F \).

Un endomorfismo \( F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) è un’applicazione lineare che può essere rappresentata mediante una matrice. La simmetria dell’endomorfismo implica che la matrice di \( F \) sia simmetrica. Inoltre, il nucleo \( \text{Ker}(F) \) è il sottospazio \( U = \{(x, y, z) \mid x+y-z=0\} \), che ha dimensione 2. Questo significa che la matrice di \( F \) avrà uno zero come autovalore, associato a un autovettore appartenente a \( U \). Il vettore \( v = (1, 1, -1) \) ha come immagine \( F(v) = -3v = (-3, -3, 3) \). Possiamo quindi iniziare a costruire \( F \) noto che la matrice simmetrica avrà un autovalore di -3 associato a \( v \). Scomponendo \( F \) rispetto alla base canonica, possiamo considerare che una matrice simmetrica che soddisfa tutti i requisiti avrà la forma: \[ F = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Tuttavia, poiché la simmetria e il nucleo richiedono che \( F \) porti a zero il sottospazio \( U \), dobbiamo assicurare che il nucleo coincida effettivamente con \( U \). Qui, possiamo specificare che la matrice deve annichilire vettori nella forma \( (x, y, z) = (s, s, s) \) per qualche \( s \) reale. Per ottenere una base di autovettori, consideriamo: 1. Vettore \( v_1 = (1, 1, -1) \) con autovalore -3. 2. Due vettori del nucleo di \( F \) possono essere trovati adottando \( (1, -1, 0) \) e \( (0, 1, 1) \) come autovettori con autovalore 0. Questi, quindi, costituiscono una base di \( \mathbb{R}^{3} \) formata da autovettori di \( F \): \( \{(1, 1, -1), (1, -1, 0), (0, 1, 1)\} \).