Esercizio 1. Spiegare perché esiste un endomorfismo di che verifica le seguenti proprietà:
è simmetrico
il nucleo di è il sottospazio rispetto alla base
il vettore ha per immagine sotto il vettore . canonica
Calcolare esplicitamente l’espressione di .
Trovare poi, se possibile, una base di fatta da autovettori di .
vol gimeuto
Esiste un endomorfismo simmetrico di con nucleo e tale che per . L’espressione di è:
Una base di costituita da autovettori di è:
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L’endomorfismo di può essere costruito considerando le proprietà indicate. Poiché è simmetrico, possiamo rappresentarlo come una matrice simmetrica . Essendo il nucleo di uguale al sottospazio , possiamo determinare che la dimensione di è 2. Ciò implica che la matrice avrà rango 1, dato che la dimensione del nucleo più il rango deve essere pari alla dimensione dello spazio di partenza.
Il vettore appartenente a ha immagine , il che significa che è un autovettore di associato all’autovalore -3. Possiamo utilizzare il prodotto scalare per garantire la simmetria della matrice associata a . Quindi un possibile candidato per è:
dove è un parametro da determinare in base alle condizioni delle immagini degli altri vettori.
Una possibile matrice simmetrica che mira a soddisfare queste condizioni e soddisfa anche un legame con i sottospazi è:
Ora, dato che stiamo cercando autovettori, possiamo calcolare i polinomi caratteristici di per determinare se ci sono ulteriori autovettori associati ad autovalori differenti.
Una base di composta da autovettori di può includere e un’altra coppia di autovettori che possono risultare dal calcolo. A seconda delle caratteristiche definite da , possiamo cercare un autovalore nullo associato a un altro autovettore, come ad esempio un vettore perpendicolare a , come e , per completare una base in .
Infine, assicurati di trovare un altro autovalore associato anche all’autovettore che amplifica l’analisi e potenzialmente completa la tua base.