Esercizio 1. Spiegare perché esiste un endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^{3} $$ che verifica le seguenti proprietà: - $$ F $$ è simmetrico - il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ U=\{(x, y, z) \mid x+y-z=0\} $$ rispetto alla base - il vettore $$ v=(1,1,-1) $$ ha per immagine sotto $$ F $$ il vettore $$ -3 v $$. canonica Calcolare esplicitamente l'espressione di $$ F $$. Trovare poi, se possibile, una base di $$ \mathbb{R}^{3} $$ fatta da autovettori di $$ F $$. vol gimeuto

Question

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Per risolvere l'esercizio, procediamo passo per passo.

### **1. Esistenza dell'endomorfismo $$ F $$ con le proprietà richieste**

#### **a. Simmetria di $$ F $$**
Un endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^3 $$ è **simmetrico** se la matrice associata rispetto alla base canonica è uguale alla sua trasposta, cioè $$ F = F^T $$. Ciò implica che $$ F $$ è autoaggiunto e che esistono autovettori ortogonali.

#### **b. Nucleo di $$ F $$ come sottospazio $$ U $$**
Il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ U = \{(x, y, z) \mid x + y - z = 0\} $$, che è un sottospazio di dimensione 2 in $$ \mathbb{R}^3 $$. Quindi, l'immagine di $$ F $$ è di dimensione 1, essendo $$ \text{dim}(\text{Im}(F)) = 3 - \text{dim}(\text{Ker}(F)) = 1 $$.

#### **c. Condizione sull'immagine del vettore $$ v $$**
Dato il vettore $$ v = (1,1,-1) $$, abbiamo $$ F(v) = -3v $$. Ciò significa che $$ v $$ è un autovettore di $$ F $$ associato all'autovalore $$ -3 $$.

### **2. Costruzione esplicita di $$ F $$**

Poiché $$ F $$ ha rango 1 e $$ v $$ è un autovettore con autovalore $$ -3 $$, possiamo esprimere $$ F $$ come prodotto scalare tra $$ v $$ e una funzione lineare. Consideriamo:

$$
F = a \cdot v \cdot v^T
$$

Dove $$ a $$ è uno scalare da determinare. Calcoliamo $$ F(v) $$:

$$
F(v) = a \cdot v \cdot (v^T v) = a \cdot (v^T v) \cdot v
$$

Calcoliamo $$ v^T v $$:

$$
v^T v = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
$$

Quindi:

$$
F(v) = 3a \cdot v = -3v \quad \Rightarrow \quad 3a = -3 \quad \Rightarrow \quad a = -1
$$

Pertanto:

$$
F = -v \cdot v^T = -\begin{pmatrix}1 \ 1 \ -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

### **3. Base costituita da autovettori di $$ F $$**

Poiché $$ F $$ è simmetrico, esiste una base ortogonale di $$ \mathbb{R}^3 $$ costituita da autovettori di $$ F $$.

- **Autovettore associato all'autovalore $$ -3 $$:**
  $$
  v = (1, 1, -1)
  $$
  
- **Autovettori associati all'autovalore $$ 0 $$:**
  Il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ U $$, quindi dobbiamo trovare due vettori in $$ U $$ che siano ortogonali tra loro e a $$ v $$.

**Esempio di scelta:**
  $$
  u_1 = (1, -1, 0) \quad \text{e} \quad u_2 = (1, 1, 2)
  $$
  
  **Verifica ortogonalità:**
  $$
  v \cdot u_1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = 0
  $$
  $$
  v \cdot u_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 0
  $$
  $$
  u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 0
  $$

Quindi, una base di $$ \mathbb{R}^3 $$ costituita da autovettori di $$ F $$ è:
$$
\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix}1 \ 1 \ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \ 1 \ 2\end{pmatrix} \right\}
$$

### **Conclusione**

Esiste un endomorfismo $$ F $$ simmetrico di $$ \mathbb{R}^3 $$ con nucleo $$ U $$ e tale che $$ F(v) = -3v $$. L'espressione esplicita di $$ F $$ è:

$$
F = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

Inoltre, una base di $$ \mathbb{R}^3 $$ costituita da autovettori di $$ F $$ è formata dai vettori $$ v = (1,1,-1) $$, $$ u_1 = (1,-1,0) $$ e $$ u_2 = (1,1,2) $$.
Esiste un endomorfismo $$ F $$ simmetrico di $$ \mathbb{R}^3 $$ con nucleo $$ U = \{(x, y, z) \mid x + y - z = 0\} $$ e tale che $$ F(v) = -3v $$ per $$ v = (1,1,-1) $$. L'espressione di $$ F $$ è: $$ F = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$ Una base di $$ \mathbb{R}^3 $$ costituita da autovettori di $$ F $$ è: $$ \mathcal{B} = \left\{ (1,1,-1), (1,-1,0), (1,1,2) \right\} $$

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