12. Considera, para cada \( k \in \square \), a função \( f_{k} \) definida, em IR, por: \[ f_{k}(x)=\left\{\begin{array}{cll}\frac{1-e^{3 x}}{4 x} & \text { se } x \neq 0 \\ k & \text { se } x=0\end{array}\right. \] Para que a função seja continua em 0 , o valor de \( k \) terá de ser: \( \begin{array}{llll}\text { (A) }-\frac{3}{4} & \text { (B) } \frac{3}{4} & \text { (C) } 3 & \text { (D) } 1\end{array} \)

Pour que la fonction \( f_{k} \) soit continue en \( 0 \), la limite de \( f_{k}(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) doit être égale à \( f_{k}(0) = k \). Calculons la limite : \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3x}}{4x} \] Développons \( e^{3x} \) en série de Taylor autour de \( x = 0 \) : \[ e^{3x} \approx 1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \dots \] Ainsi, \[ 1 - e^{3x} \approx -3x - \frac{9x^2}{2} + \dots \] En divisant par \( 4x \) : \[ \frac{1 - e^{3x}}{4x} \approx \frac{-3x - \frac{9x^2}{2} + \dots}{4x} \approx -\frac{3}{4} + \dots \] La limite est donc \( -\frac{3}{4} \). Pour que la fonction soit continue en \( 0 \), il faut que \( k = -\frac{3}{4} \). **Réponse : (A) \(-\frac{3}{4}\)**