A company wholesales shampoo in a particular city. Their marketing research department established the following weeklyrsupply-and-demand equations.

How many units are required for supply to equal demand? At what price per bottle will supply equal demand?
How many units are required for supply to equal demand?
At what price per bottle will supply equal demand?
(Round to the nearest cent as needed.)

Ask by Ingram Flynn. in the United States

Jan 23,2025

Question

A company wholesales shampoo in a particular city. Their marketing research department established the following weeklyrsupply-and-demand equations.

How many units are required for supply to equal demand? At what price per bottle will supply equal demand?
How many units are required for supply to equal demand?
At what price per bottle will supply equal demand?
(Round to the nearest cent as needed.)

Ask by Ingram Flynn. in the United States

Jan 23,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar o número de unidades necessárias para que a oferta seja igual à demanda, precisamos igualar as duas equações de oferta e demanda e resolver para $$ x $$.

A equação de oferta é dada por $$ p = \frac{x}{600} + \frac{1}{2} $$ e a equação de demanda é dada por $$ p = \frac{4,500}{x} $$.

Igualando as duas equações, temos:

$$ \frac{x}{600} + \frac{1}{2} = \frac{4,500}{x} $$

Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por $$ 600x $$ para eliminar as frações:

$$ x^2 + 300x = 2,700,000 $$

Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de $$ x $$.

Vamos resolver a equação quadrática $$ x^2 + 300x - 2,700,000 = 0 $$ para encontrar o valor de $$ x $$.
Solve the quadratic equation by following steps:
- step0: Solve by factoring:
  $$x^{2}+300x-2700000=0$$
- step1: Factor the expression:
  $$\left(x-1500\right)\left(x+1800\right)=0$$
- step2: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&x-1500=0\&x+1800=0\end{align}$$
- step3: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=1500\&x=-1800\end{align}$$
- step4: Rewrite:
  $$x_{1}=-1800,x_{2}=1500$$
As soluções da equação quadrática são $$ x = -1800 $$ e $$ x = 1500 $$.

No entanto, o número de unidades não pode ser negativo, pois não faz sentido ter uma quantidade negativa de unidades. Portanto, o número de unidades necessárias para que a oferta seja igual à demanda é $$ x = 1500 $$.

Agora, vamos encontrar o preço por garrafa quando a oferta é igual à demanda. Substituindo $$ x = 1500 $$ nas equações de oferta e demanda, podemos encontrar o preço.

Substituindo $$ x = 1500 $$ na equação de oferta $$ p = \frac{x}{600} + \frac{1}{2} $$, temos:

$$ p = \frac{1500}{600} + \frac{1}{2} = 2.5 + 0.5 = 3 $$

Portanto, o preço por garrafa quando a oferta é igual à demanda é de $$ \$3 $$.
Para que a oferta seja igual à demanda, o número de unidades necessárias é 1,500 e o preço por garrafa é \$3.

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