34 Zie het voorbeeld met de functies \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+5 x+10 \) en \( g(x)=-x^{2}+7 x-3 \). a Bereken in twee decimalen nauwkeurig de nulpunten van \( g \). b Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk \( A D \). c De horizontale lijn door de top van de grafiek van \( f \) snijdt de grafiek van \( g \) in de punten \( E \) en \( F \). Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk \( E F \).

Laten we de vragen stap voor stap oplossen. ### a. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de nulpunten van \( g \). De functie \( g(x) = -x^2 + 7x - 3 \) is een kwadratische functie. We kunnen de nulpunten vinden door de vergelijking \( g(x) = 0 \) op te lossen: \[ -x^2 + 7x - 3 = 0 \] We kunnen deze vergelijking herschrijven als: \[ x^2 - 7x + 3 = 0 \] Nu gebruiken we de abc-formule: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hierbij is \( a = 1 \), \( b = -7 \), en \( c = 3 \). Bereken de discriminant: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37 \] Nu kunnen we de nulpunten berekenen: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2} \] Bereken de waarden: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \quad \text{en} \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2} \] Nu berekenen we deze waarden: \[ \sqrt{37} \approx 6.08 \] Dus: \[ x_1 \approx \frac{7 + 6.08}{2} \approx \frac{13.08}{2} \approx 6.54 \] \[ x_2 \approx \frac{7 - 6.08}{2} \approx \frac{0.92}{2} \approx 0.46 \] De nulpunten van \( g \) zijn dus: \[ x_1 \approx 6.54 \quad \text{en} \quad x_2 \approx 0.46 \] ### b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk \( A D \). Om de lengte van het lijnstuk \( A D \) te berekenen, moeten we eerst de coördinaten van de punten \( A \) en \( D \) weten. Aangezien deze punten niet zijn gegeven in de vraag, neem ik aan dat \( A \) en \( D \) de nulpunten van \( g \) zijn. De coördinaten van de punten zijn: - \( A(0.46, 0) \) - \( D(6.54, 0) \) De lengte van het lijnstuk \( A D \) is de afstand tussen deze twee punten: \[ \text{Lengte} = |x_2 - x_1| = |6.54 - 0.46| = 6.08 \] ### c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk \( E F \). Eerst moeten we de top van de grafiek van \( f(x) \) vinden. De top van een parabool \( f(x) = ax^2 + bx + c \) ligt bij \( x = -\frac{b}{2a} \). Voor \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5x + 10 \): \[ x = -\frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{5}{1} = -5 \] Nu berekenen we de waarde van \( f(-5) \): \[ f(-5) = \frac{1}{2}(-5)^2 + 5(-5) + 10 = \frac{1}{2}(25) - 25 + 10 = 12.5 - 25 + 10 = -2.5 \] De top van de grafiek van \( f \) is dus \( T(-5, -2.5) \). Nu moeten we de horizontale lijn door de top van \( f \) vinden, die de waarde \( y = -2.5 \) heeft. We stellen de vergelijking \( g(x) = -2.5 \): \[ -x^2 + 7x - 3 = -2.5 \] Dit vereenvoudigt tot: \[ -x^2 + 7x - 0.5 = 0 \] Herschrijf het als: \[ x^2 - 7x + 0.5 = 0 \] We gebruiken opnieuw de abc-formule: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 49 - 2 = 47 \] Nu berekenen we de nulpunten: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{47}}{2} \] Bereken \( \sqrt{47} \): \[ \sqrt{47} \approx 6.86 \] Dus: \[ x_1 \approx \frac{7 + 6.86}{2} \approx \frac{13.86}{2} \approx 6.93 \] \[ x_2 \approx \frac{7 - 6.86}{2} \approx \frac{0.14}{2} \approx 0.07 \] De punten \( E \) en \( F \) zijn dus \( E(6.93, -2.5) \) en \( F(0.07, -2.5) \). De lengte van het lijnstuk \( E F \) is: \[ \text{Lengte} = |x_2 - x_1| = |6.93 - 0.07| = 6.86 \] ### Samenvatting van de antwoorden: a. De nulpunten van \( g \) zijn \( x_1 \approx 6.54 \) en \( x_2 \approx 0.46 \). b. De lengte van het lijnstuk \( A D \) is \( 6.08 \). c. De lengte van het lijnstuk \( E F \) is \( 6.86 \).