34 Zie het voorbeeld met de functies $$ f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+5 x+10 $$ en $$ g(x)=-x^{2}+7 x-3 $$. a Bereken in twee decimalen nauwkeurig de nulpunten van $$ g $$. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk $$ A D $$. c De horizontale lijn door de top van de grafiek van $$ f $$ snijdt de grafiek van $$ g $$ in de punten $$ E $$ en $$ F $$. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk $$ E F $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Laten we de vragen stap voor stap oplossen.

### a. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de nulpunten van $$ g $$.

De functie $$ g(x) = -x^2 + 7x - 3 $$ is een kwadratische functie. We kunnen de nulpunten vinden door de vergelijking $$ g(x) = 0 $$ op te lossen:

$$
-x^2 + 7x - 3 = 0
$$

We kunnen deze vergelijking herschrijven als:

$$
x^2 - 7x + 3 = 0
$$

Nu gebruiken we de abc-formule:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Hierbij is $$ a = 1 $$, $$ b = -7 $$, en $$ c = 3 $$.

Bereken de discriminant:

$$
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37
$$

Nu kunnen we de nulpunten berekenen:

$$
x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2}
$$

Bereken de waarden:

$$
x_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \quad \text{en} \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}
$$

Nu berekenen we deze waarden:

$$
\sqrt{37} \approx 6.08
$$

Dus:

$$
x_1 \approx \frac{7 + 6.08}{2} \approx \frac{13.08}{2} \approx 6.54
$$

$$
x_2 \approx \frac{7 - 6.08}{2} \approx \frac{0.92}{2} \approx 0.46
$$

De nulpunten van $$ g $$ zijn dus:

$$
x_1 \approx 6.54 \quad \text{en} \quad x_2 \approx 0.46
$$

### b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk $$ A D $$.

Om de lengte van het lijnstuk $$ A D $$ te berekenen, moeten we eerst de coördinaten van de punten $$ A $$ en $$ D $$ weten. Aangezien deze punten niet zijn gegeven in de vraag, neem ik aan dat $$ A $$ en $$ D $$ de nulpunten van $$ g $$ zijn.

De coördinaten van de punten zijn:

- $$ A(0.46, 0) $$
- $$ D(6.54, 0) $$

De lengte van het lijnstuk $$ A D $$ is de afstand tussen deze twee punten:

$$
\text{Lengte} = |x_2 - x_1| = |6.54 - 0.46| = 6.08
$$

### c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk $$ E F $$.

Eerst moeten we de top van de grafiek van $$ f(x) $$ vinden. De top van een parabool $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ ligt bij $$ x = -\frac{b}{2a} $$.

Voor $$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5x + 10 $$:

$$
x = -\frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{5}{1} = -5
$$

Nu berekenen we de waarde van $$ f(-5) $$:

$$
f(-5) = \frac{1}{2}(-5)^2 + 5(-5) + 10 = \frac{1}{2}(25) - 25 + 10 = 12.5 - 25 + 10 = -2.5
$$

De top van de grafiek van $$ f $$ is dus $$ T(-5, -2.5) $$.

Nu moeten we de horizontale lijn door de top van $$ f $$ vinden, die de waarde $$ y = -2.5 $$ heeft. We stellen de vergelijking $$ g(x) = -2.5 $$:

$$
-x^2 + 7x - 3 = -2.5
$$

Dit vereenvoudigt tot:

$$
-x^2 + 7x - 0.5 = 0
$$

Herschrijf het als:

$$
x^2 - 7x + 0.5 = 0
$$

We gebruiken opnieuw de abc-formule:

$$
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 49 - 2 = 47
$$

Nu berekenen we de nulpunten:

$$
x = \frac{7 \pm \sqrt{47}}{2}
$$

Bereken $$ \sqrt{47} $$:

$$
\sqrt{47} \approx 6.86
$$

Dus:

$$
x_1 \approx \frac{7 + 6.86}{2} \approx \frac{13.86}{2} \approx 6.93
$$

$$
x_2 \approx \frac{7 - 6.86}{2} \approx \frac{0.14}{2} \approx 0.07
$$

De punten $$ E $$ en $$ F $$ zijn dus $$ E(6.93, -2.5) $$ en $$ F(0.07, -2.5) $$.

De lengte van het lijnstuk $$ E F $$ is:

$$
\text{Lengte} = |x_2 - x_1| = |6.93 - 0.07| = 6.86
$$

### Samenvatting van de antwoorden:

a. De nulpunten van $$ g $$ zijn $$ x_1 \approx 6.54 $$ en $$ x_2 \approx 0.46 $$.

b. De lengte van het lijnstuk $$ A D $$ is $$ 6.08 $$.

c. De lengte van het lijnstuk $$ E F $$ is $$ 6.86 $$.
a. De nulpunten van $$ g $$ zijn $$ x_1 \approx 6.54 $$ en $$ x_2 \approx 0.46 $$. b. De lengte van het lijnstuk $$ A D $$ is $$ 6.08 $$. c. De lengte van het lijnstuk $$ E F $$ is $$ 6.86 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions