$$ A = \int _ { 0 } ^ { 2 } \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } d x $$

Question

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Para resolver la integral

$$
A = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \, dx,
$$

podemos utilizar una sustitución trigonométrica. A continuación, se muestra el paso a paso en español:

### Paso 1: Identificar la Sustitución Trigonométrica
Observamos que la expresión bajo la raíz cuadrada tiene la forma $$ 4 - x^{2} $$, lo cual se asemeja a la identidad trigonométrica $$ 1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta $$.

Por lo tanto, hacemos la siguiente sustitución:
$$
x = 2 \sin \theta \quad \Rightarrow \quad dx = 2 \cos \theta \, d\theta
$$

### Paso 2: Cambiar los Límites de Integración
Cuando $$ x = 0 $$:
$$
0 = 2 \sin \theta \quad \Rightarrow \quad \theta = 0
$$

Cuando $$ x = 2 $$:
$$
2 = 2 \sin \theta \quad \Rightarrow \quad \sin \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{2}
$$

### Paso 3: Sustituir en la Integral
Reemplazamos $$ x $$ y $$ dx $$ en la integral original:
$$
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^{2}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2}\theta} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta
$$
$$
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4(1 - \sin^{2}\theta)} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta \, d\theta
$$
$$
= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta \, d\theta
$$

### Paso 4: Resolver la Integral de $$\cos^{2}\theta$$
Utilizamos la identidad trigonométrica:
$$
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
$$
$$
A = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta
$$
$$
= 2 \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) = \pi
$$

### Resultado Final
El valor de la integral es:
$$
A = \pi
$$
La integral $$ A = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \, dx $$ se evalúa a $$ \pi $$.

\( A = \int _ { 0 } ^ { 2 } \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } d x \)

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