Die Gerade ist parallel zur Ebene und liegt 9 Einheiten entfernt von ihr.
Solution
Um die gegenseitige Lage der Geraden und der Ebene zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:
Gegebene Gleichungen:
Gerade :
Ebene :
1. Überprüfung auf Schnittpunkt:
Setzen wir die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein:
Einsetzen in die Ebenengleichung:
Dies ist eine widersprüchliche Gleichung, weshalb die Gerade nicht die Ebene schneidet.
2. Überprüfung auf Parallelität:
Die Gerade ist parallel zur Ebene , wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.
Richtungsvektor der Gerade :
Normalenvektor der Ebene :
Berechnung des Skalarprodukts:
Da das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal, und die Gerade ist parallel zur Ebene.
3. Berechnung des Abstands:
Da die Gerade parallel zur Ebene ist, berechnen wir den Abstand einer beliebigen Position der Geraden zur Ebene. Nehmen wir den Punkt auf der Geraden.
Die Abstandsgleichung lautet:
Einsetzen von :
Ergebnis:
Zusammenfassung:
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Beyond the Answer
Um die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu untersuchen, setzen wir den Ausdruck für die Gerade in die Ebenengleichung ein. Die Gerade hat die Form . Einsetzen gibt:
Nach Vereinfachungen – und je nachdem wie aussieht – stellen wir fest, dass der Ausdruck gleich 6 wird. Wenn es einen bestimmten Wert für gibt, bei dem das gilt, schneidet die Gerade die Ebene.
Andernfalls können wir die Richtungsvektoren der Gerade und die Normalen der Ebene vergleichen. Die Normalen der Ebene ist . Der Richtungsvektor der Geraden ist nicht proportional zu , was bedeutet, die Gerade kann tatsächlich die Ebene schneiden, aber wir müssen den Durchstoßpunkt präzise berechnen.
Es könnte also sein, dass die Gerade tatsächlich die Ebene schneidet, sodass der Durchstoßpunkt ermittelt werden kann oder wir einen Abstand bestimmen müssen, je nach den Werten von .