Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \ -3 \ 6\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \ 2 \ 1\end{array} ight) $$ mit der Ebene E: $$ 6 x_{1}-3 x_{2}-6 x_{3}=6 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{ll} ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square & ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d}= \ ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

Question

Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \ -3 \ 6\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \ 2 \ 1\end{array}ight) $$ mit der Ebene E: $$ 6 x_{1}-3 x_{2}-6 x_{3}=6 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{ll}	ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square & 	ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d}= \ 	ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

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Um die gegenseitige Lage der Geraden $$ \mathrm{g} $$ und der Ebene $$ \mathrm{E} $$ zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

**Gegebene Gleichungen:**
- **Gerade $$ \mathrm{g} $$:**
  $$
  \vec{x} = \begin{pmatrix} -8 \ -3 \ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
  $$
- **Ebene $$ \mathrm{E} $$:**
  $$
  6x_1 - 3x_2 - 6x_3 = 6
  $$

**1. Überprüfung auf Schnittpunkt:**

Setzen wir die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein:

$$
x_1 = -8 + 2t,\quad x_2 = -3 + 2t,\quad x_3 = 6 + t
$$

Einsetzen in die Ebenengleichung:

$$
6(-8 + 2t) - 3(-3 + 2t) - 6(6 + t) = 6
$$
$$
-48 + 12t + 9 - 6t - 36 - 6t = 6
$$
$$
-75 = 6
$$

Dies ist eine widersprüchliche Gleichung, weshalb die Gerade **nicht** die Ebene schneidet.

**2. Überprüfung auf Parallelität:**

Die Gerade $$ \mathrm{g} $$ ist parallel zur Ebene $$ \mathrm{E} $$, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.

- **Richtungsvektor der Gerade $$ \mathrm{g} $$:** $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} $$
- **Normalenvektor der Ebene $$ \mathrm{E} $$:** $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \ -3 \ -6 \end{pmatrix} $$

Berechnung des Skalarprodukts:

$$
\vec{v} \cdot \vec{n} = 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 2 + (-6) \cdot 1 = 12 - 6 - 6 = 0
$$

Da das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal, und die Gerade ist parallel zur Ebene.

**3. Berechnung des Abstands:**

Da die Gerade parallel zur Ebene ist, berechnen wir den Abstand $$ d $$ einer beliebigen Position der Geraden zur Ebene. Nehmen wir den Punkt $$ P_0 = (-8, -3, 6) $$ auf der Geraden.

Die Abstandsgleichung lautet:

$$
d = \frac{|6x_1 - 3x_2 - 6x_3 - 6|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + (-6)^2}}
$$

Einsetzen von $$ P_0 $$:

$$
d = \frac{|6(-8) - 3(-3) - 6(6) - 6|}{\sqrt{36 + 9 + 36}} = \frac{|-48 + 9 - 36 - 6|}{\sqrt{81}} = \frac{81}{9} = 9
$$

**Ergebnis:**

$$
\text{Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } d = 9
$$

**Zusammenfassung:**

$$
\boxed{\text{Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } d=9}
$$
Die Gerade ist parallel zur Ebene und liegt 9 Einheiten entfernt von ihr.

Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade
mit der Ebene E:
Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
$ß$

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Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade mit der Ebene E: Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. ß