Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \\ -3 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \( 6 x_{1}-3 x_{2}-6 x_{3}=6 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{ll}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square & \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d}= \\ \text { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der Gerade \(\mathrm{g}\) und der Ebene \(E\) zu untersuchen, setzen wir den Ausdruck für die Gerade in die Ebenengleichung ein. Die Gerade hat die Form \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -8 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Einsetzen gibt: \[ 6(-8 + 2t) - 3(-3 + 2t) - 6(6 + t) = 6. \] Nach Vereinfachungen – und je nachdem wie \(t\) aussieht – stellen wir fest, dass der Ausdruck gleich 6 wird. Wenn es einen bestimmten Wert für \(t\) gibt, bei dem das gilt, schneidet die Gerade die Ebene. Andernfalls können wir die Richtungsvektoren der Gerade und die Normalen der Ebene vergleichen. Die Normalen der Ebene \(E\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor der Geraden \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) ist nicht proportional zu \(\vec{n}\), was bedeutet, die Gerade kann tatsächlich die Ebene schneiden, aber wir müssen den Durchstoßpunkt präzise berechnen. Es könnte also sein, dass die Gerade tatsächlich die Ebene schneidet, sodass der Durchstoßpunkt \(D\) ermittelt werden kann oder wir einen Abstand \(d\) bestimmen müssen, je nach den Werten von \(t\).