21 APPLET Gegeven zijn de functies $$ f(x)=\sqrt{x-3}-2 $$ en $$ g(x)=-2 \sqrt{x+3} $$. a Hoe ontstaan de grafieken van $$ f $$ en $$ g $$ uit de grafiek van $$ y=\sqrt{x} $$ ? b Schets de grafieken van $$ f $$ en $$ g $$ en zet de coördinaten van de beginpunten erbij. c Geef $$ D_{f}, B_{f}, D_{g} $$ en $$ B_{g} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Transformaties van de grafieken van $$ f $$ en $$ g $$ uit de grafiek van $$ y = \sqrt{x} $$:**

- **Voor $$ f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 $$:**
  1. **Horizontale verschuiving naar rechts:** De grafiek van $$ y = \sqrt{x} $$ wordt 3 eenheden naar rechts verschoven door $$ x $$ te vervangen door $$ x - 3 $$, wat resulteert in $$ y = \sqrt{x - 3} $$.
  2. **Verticale verschuiving naar beneden:** Vervolgens wordt de grafiek 2 eenheden omlaag verschoven door 2 af te trekken, wat leidt tot $$ y = \sqrt{x - 3} - 2 $$.

- **Voor $$ g(x) = -2\sqrt{x + 3} $$:**
  1. **Horizontale verschuiving naar links:** De grafiek van $$ y = \sqrt{x} $$ wordt 3 eenheden naar links verschoven door $$ x $$ te vervangen door $$ x + 3 $$, wat resulteert in $$ y = \sqrt{x + 3} $$.
  2. **Verticale schaaling:** De grafiek wordt verticaal uitgerekt met een factor 2 door de uitdrukking te vermenigvuldigen met 2, resulterend in $$ y = 2\sqrt{x + 3} $$.
  3. **Reflectie over de x-as:** Ten slotte wordt de grafiek gespiegeld over de x-as door een negatief teken ervoor te plaatsen, wat leidt tot $$ y = -2\sqrt{x + 3} $$.

**b) Schets van de grafieken en coördinaten van de beginpunten:**

- **Grafiek van $$ f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 $$:**
  - **Beginpunt:** Het punt waar de wortelfunctie begint, oftewel waar de uitdrukking onder de wortel nul is.
    $$
    x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
    $$
    $$
    y = \sqrt{0} - 2 = -2
    $$
    $$
    \text{Beginpunt} = (3, -2)
    $$
  - **Vorm:** Een typische wortelgrafiek die begint bij $$ (3, -2) $$ en naar rechts omhoog gaat.

- **Grafiek van $$ g(x) = -2\sqrt{x + 3} $$:**
  - **Beginpunt:** Het punt waar de wortelfunctie begint.
    $$
    x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
    $$
    $$
    y = -2\sqrt{0} = 0
    $$
    $$
    \text{Beginpunt} = (-3, 0)
    $$
  - **Vorm:** Een gespiegeld en uitgerekt wortelgrafiek die begint bij $$ (-3, 0) $$ en naar links omlaag gaat vanwege de negatieve factor.

**c) Domein en beeld van $$ f $$ en $$ g $$:**

- **Voor $$ f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 $$:**
  - **Domein ($$ D_f $$):** De uitdrukking onder de wortel moet niet negatief zijn.
    $$
    x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3
    $$
    $$
    D_f = [3, \infty)
    $$
  - **Beeld ($$ B_f $$):** Omdat $$ \sqrt{x - 3} \geq 0 $$, en er 2 van wordt afgetrokken:
    $$
    y \geq -2
    $$
    $$
    B_f = [-2, \infty)
    $$

- **Voor $$ g(x) = -2\sqrt{x + 3} $$:**
  - **Domein ($$ D_g $$):** De uitdrukking onder de wortel moet niet negatief zijn.
    $$
    x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3
    $$
    $$
    D_g = [-3, \infty)
    $$
  - **Beeld ($$ B_g $$):** Omdat $$ \sqrt{x + 3} \geq 0 $$ en wordt vermenigvuldigd met -2:
    $$
    y \leq 0
    $$
    $$
    B_g = (-\infty, 0]
    $$

---

**Samenvatting:**

- **Transformaties:**
  - $$ f(x) $$: Horizontaal 3 rechts, verticaal 2 omlaag.
  - $$ g(x) $$: Horizontaal 3 links, verticaal uitgerekt met factor 2, gespiegeld over de x-as.

- **Beginpunten:**
  - $$ f $$: $$ (3, -2) $$
  - $$ g $$: $$ (-3, 0) $$

- **Domeinen en Beelden:**
  - $$ D_f = [3, \infty) $$, $$ B_f = [-2, \infty) $$
  - $$ D_g = [-3, \infty) $$, $$ B_g = (-\infty, 0] $$
**a) Transformaties:** - **$$ f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 $$:** De grafiek van $$ y = \sqrt{x} $$ wordt 3 eenheden naar rechts en 2 eenheden omlaag verschoven. - **$$ g(x) = -2\sqrt{x + 3} $$:** De grafiek van $$ y = \sqrt{x} $$ wordt 3 eenheden naar links verschoven, verticaal uitgerekt met een factor 2, en gespiegeld over de x-as. **b) Schets en Beginpunten:** - **$$ f(x) $$:** Beginpunt bij $$ (3, -2) $$. - **$$ g(x) $$:** Beginpunt bij $$ (-3, 0) $$. **c) Domein en Beeld:** - **$$ f(x) $$:** Domein $$ [3, \infty) $$, Beeld $$ [-2, \infty) $$. - **$$ g(x) $$:** Domein $$ [-3, \infty) $$, Beeld $$ (-\infty, 0] $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions