21 APPLET Gegeven zijn de functies \( f(x)=\sqrt{x-3}-2 \) en \( g(x)=-2 \sqrt{x+3} \). a Hoe ontstaan de grafieken van \( f \) en \( g \) uit de grafiek van \( y=\sqrt{x} \) ? b Schets de grafieken van \( f \) en \( g \) en zet de coördinaten van de beginpunten erbij. c Geef \( D_{f}, B_{f}, D_{g} \) en \( B_{g} \).

**a) Transformaties van de grafieken van \( f \) en \( g \) uit de grafiek van \( y = \sqrt{x} \):** - **Voor \( f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 \):** 1. **Horizontale verschuiving naar rechts:** De grafiek van \( y = \sqrt{x} \) wordt 3 eenheden naar rechts verschoven door \( x \) te vervangen door \( x - 3 \), wat resulteert in \( y = \sqrt{x - 3} \). 2. **Verticale verschuiving naar beneden:** Vervolgens wordt de grafiek 2 eenheden omlaag verschoven door 2 af te trekken, wat leidt tot \( y = \sqrt{x - 3} - 2 \). - **Voor \( g(x) = -2\sqrt{x + 3} \):** 1. **Horizontale verschuiving naar links:** De grafiek van \( y = \sqrt{x} \) wordt 3 eenheden naar links verschoven door \( x \) te vervangen door \( x + 3 \), wat resulteert in \( y = \sqrt{x + 3} \). 2. **Verticale schaaling:** De grafiek wordt verticaal uitgerekt met een factor 2 door de uitdrukking te vermenigvuldigen met 2, resulterend in \( y = 2\sqrt{x + 3} \). 3. **Reflectie over de x-as:** Ten slotte wordt de grafiek gespiegeld over de x-as door een negatief teken ervoor te plaatsen, wat leidt tot \( y = -2\sqrt{x + 3} \). **b) Schets van de grafieken en coördinaten van de beginpunten:** - **Grafiek van \( f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 \):** - **Beginpunt:** Het punt waar de wortelfunctie begint, oftewel waar de uitdrukking onder de wortel nul is. \[ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \] \[ y = \sqrt{0} - 2 = -2 \] \[ \text{Beginpunt} = (3, -2) \] - **Vorm:** Een typische wortelgrafiek die begint bij \( (3, -2) \) en naar rechts omhoog gaat. - **Grafiek van \( g(x) = -2\sqrt{x + 3} \):** - **Beginpunt:** Het punt waar de wortelfunctie begint. \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ y = -2\sqrt{0} = 0 \] \[ \text{Beginpunt} = (-3, 0) \] - **Vorm:** Een gespiegeld en uitgerekt wortelgrafiek die begint bij \( (-3, 0) \) en naar links omlaag gaat vanwege de negatieve factor. **c) Domein en beeld van \( f \) en \( g \):** - **Voor \( f(x) = \sqrt{x - 3} - 2 \):** - **Domein (\( D_f \)):** De uitdrukking onder de wortel moet niet negatief zijn. \[ x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \] \[ D_f = [3, \infty) \] - **Beeld (\( B_f \)):** Omdat \( \sqrt{x - 3} \geq 0 \), en er 2 van wordt afgetrokken: \[ y \geq -2 \] \[ B_f = [-2, \infty) \] - **Voor \( g(x) = -2\sqrt{x + 3} \):** - **Domein (\( D_g \)):** De uitdrukking onder de wortel moet niet negatief zijn. \[ x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \] \[ D_g = [-3, \infty) \] - **Beeld (\( B_g \)):** Omdat \( \sqrt{x + 3} \geq 0 \) en wordt vermenigvuldigd met -2: \[ y \leq 0 \] \[ B_g = (-\infty, 0] \] --- **Samenvatting:** - **Transformaties:** - \( f(x) \): Horizontaal 3 rechts, verticaal 2 omlaag. - \( g(x) \): Horizontaal 3 links, verticaal uitgerekt met factor 2, gespiegeld over de x-as. - **Beginpunten:** - \( f \): \( (3, -2) \) - \( g \): \( (-3, 0) \) - **Domeinen en Beelden:** - \( D_f = [3, \infty) \), \( B_f = [-2, \infty) \) - \( D_g = [-3, \infty) \), \( B_g = (-\infty, 0] \)