7. Detcrmine o raio de convergéncia da sćrie de poténcias $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k} k^{2}}(x-1)^{2 t+1} $$ co onaior internalo aberto em que essa série converge.

Question

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Para determinar o **raio de convergência** da série de potências dada:

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k} k^{2}}(x-1)^{2k+1}
$$

e o **intervalo aberto** no qual essa série converge, seguiremos os seguintes passos:

### 1. Aplicação do Teste da Razão

Consideramos o termo geral da série:

$$
a_k (x - 1)^{2k+1} \quad \text{onde} \quad a_k = \frac{(-1)^k}{4^k k^2}
$$

Aplicamos o teste da razão para determinar a convergência:

$$
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}(x - 1)^{2(k+1)+1}}{a_k (x - 1)^{2k+1}} \right|
$$

Simplificando:

$$
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{k+1}}{4^{k+1} (k+1)^2} \cdot \frac{(x - 1)^{2k+3}}{(-1)^k 4^k k^2 (x - 1)^{2k+1}}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{-1}{4} \cdot \frac{k^2}{(k+1)^2} \cdot (x - 1)^2 \right|
$$

À medida que $$ k \to \infty $$, $$ \frac{k^2}{(k+1)^2} \to 1 $$. Portanto, a expressão se reduz a:

$$
\frac{1}{4} |x - 1|^2
$$

Para que a série convirja, devemos ter:

$$
\frac{1}{4} |x - 1|^2 < 1 \quad \Rightarrow \quad |x - 1|^2 < 4 \quad \Rightarrow \quad |x - 1| < 2
$$

### 2. Determinação do Raio de Convergência e Intervalo

- **Raio de Convergência (R):** 2
- **Centro da Série:** $$ x = 1 $$
- **Intervalo de Convergência:** $$ (1 - 2, 1 + 2) $$, ou seja, $$ (-1, 3) $$

### 3. Verificação dos Pontos das Extremidades

É importante verificar a convergência nos pontos $$ x = -1 $$ e $$ x = 3 $$:

- **Para $$ x = -1 $$:**
  
  A série se transforma em:

$$
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} \cdot (-2)^{2k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot (-1)^{2k+1} \cdot 2^{2k+1}}{k^2 \cdot 4^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-2}{k^2}
  $$

Esta série é convergente.

- **Para $$ x = 3 $$:**
  
  A série se transforma em:

$$
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} \cdot 2^{2k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 4^k \cdot 2}{k^2 \cdot 4^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2}{k^2}
  $$

Esta série também é convergente.

### **Conclusão**

- **Raio de Convergência:** $$ R = 2 $$
- **Intervalo de Convergência:** $$ (-1, 3) $$

Portanto, a série de potências converge para **todos os valores de $$ x $$ no intervalo aberto $$ (-1, 3) $$**.
O raio de convergência da série é 2, e a série converge para todos os valores de $$ x $$ no intervalo aberto $$ (-1, 3) $$.

Detcrmine o raio de convergéncia da sćrie de poténcias co onaior internalo
aberto em que essa série converge.

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