Exercicios 48. Verifique em cada caso se \( f \) é um homomorfismo: a) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) dada por \( f(x)=k x \), sendo \( \mathbb{Z} \) o grupo aditivo dos inteiros e \( k \) um inteiro dado. b) \( f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*} \) dada por \( f(x)=|x| \), sendo \( \mathbb{R}^{*} \) o grupo multiplicativo dos reais. c) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(x)=x+1 \), sendo \( \mathbb{R} \) o grupo aditivo dos reais. d) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) dada por \( f(x)=(x, 0) \) em que \( \mathbb{Z} \) e \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) denotam grupos aditivos. e) \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) dada por \( f(x, y)=x \) em que \( \mathbb{Z} \mathrm{e} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) denotam grupos aditivos. f) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} \) dada por \( f(x)=2^{x} \), em que \( \mathbb{Z} \) é grupo aditivo e \( \mathbb{R}_{+}^{*} \) é grupo multiplicativo. 49. Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores do exercício 48 .

Vamos analisar cada parte dos exercícios 48 e, em seguida, determinar quais dos homomorfismos são injetores e/ou sobrejetores no exercício 49. ## Exercício 48 **48. Verifique em cada caso se \( f \) é um homomorfismo:** ### a) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) dada por \( f(x) = kx \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** Sim. \[ f(x + y) = k(x + y) = kx + ky = f(x) + f(y) \] ### b) \( f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*} \) dada por \( f(x) = |x| \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** Sim. \[ f(x \cdot y) = |x \cdot y| = |x| \cdot |y| = f(x) \cdot f(y) \] ### c) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = x + 1 \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** **Não**. \[ f(x + y) = (x + y) + 1 \neq (x + 1) + (y + 1) = f(x) + f(y) \] ### d) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) dada por \( f(x) = (x, 0) \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** Sim. \[ f(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y) \] ### e) \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) dada por \( f(x, y) = x \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** Sim. \[ f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = x_1 + x_2 = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \] ### f) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} \) dada por \( f(x) = 2^{x} \) **Verificação:** - **Homomorfismo:** Sim. \[ f(x + y) = 2^{x + y} = 2^{x} \cdot 2^{y} = f(x) \cdot f(y) \] ## Exercício 49 **49. Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores do exercício 48.** Vamos considerar apenas os casos em que \( f \) é um homomorfismo (a, b, d, e e f). ### a) \( f(x) = kx \) - **Injetividade:** - **Sim**, **se e somente se** \( k \neq 0 \). - **Justificativa:** Se \( k = 0 \), todos os elementos são mapeados para 0, não sendo injetivo. - **Sobrejetividade:** - **Sim**, **se e somente se** \( k = 1 \) ou \( k = -1 \). - **Justificativa:** Apenas nesses casos, todo inteiro \( z \) pode ser escrito como \( z = kx \) para algum \( x \in \mathbb{Z} \). ### b) \( f(x) = |x| \) - **Injetividade:** - **Não**. - **Justificativa:** \( f(x) = f(-x) \) para todo \( x \in \mathbb{R}^{*} \). - **Sobrejetividade:** - **Sim**. - **Justificativa:** Para qualquer \( y \in \mathbb{R}^{*} \), existe \( x = y \) ou \( x = -y \) tal que \( f(x) = y \). ### d) \( f(x) = (x, 0) \) - **Injetividade:** - **Sim**. - **Justificativa:** Se \( f(x) = f(y) \), então \( (x, 0) = (y, 0) \) implica \( x = y \). - **Sobrejetividade:** - **Não**. - **Justificativa:** Elementos como \( (0, y) \) com \( y \neq 0 \) não estão na imagem de \( f \). ### e) \( f(x, y) = x \) - **Injetividade:** - **Não**. - **Justificativa:** Diferentes pares \( (x, y) \) podem ter o mesmo \( x \), por exemplo, \( (1,0) \) e \( (1,1) \). - **Sobrejetividade:** - **Sim**. - **Justificativa:** Para qualquer \( z \in \mathbb{Z} \), o par \( (z, 0) \) satisfaz \( f(z, 0) = z \). ### f) \( f(x) = 2^{x} \) - **Injetividade:** - **Sim**. - **Justificativa:** A função exponencial \( 2^{x} \) é estritamente crescente em \( \mathbb{Z} \), portanto, se \( 2^{x} = 2^{y} \), então \( x = y \). - **Sobrejetividade:** - **Não**. - **Justificativa:** A imagem de \( f \) é o conjunto \( \{2^{x} \mid x \in \mathbb{Z}\} \), que não cobre todos os elementos de \( \mathbb{R}_{+}^{*} \). ### Resumo: | Função | Homomorfismo | Injetora | Sobrejetora | |------------------|--------------|----------|-------------| | a) \( f(x) = kx \) | Sim | Sim, \( k \neq 0 \) | Sim, \( k = \pm1 \) | | b) \( f(x) = |x| \) | Sim | Não | Sim | | d) \( f(x) = (x,0) \) | Sim | Sim | Não | | e) \( f(x,y) = x \) | Sim | Não | Sim | | f) \( f(x) = 2^{x} \) | Sim | Sim | Não |