Exercicios 48. Verifique em cada caso se $$ f $$ é um homomorfismo: a) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x)=k x $$, sendo $$ \mathbb{Z} $$ o grupo aditivo dos inteiros e $$ k $$ um inteiro dado. b) $$ f: \mathbb{R}^{*} ightarrow \mathbb{R}^{*} $$ dada por $$ f(x)=|x| $$, sendo $$ \mathbb{R}^{*} $$ o grupo multiplicativo dos reais. c) $$ f: \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x)=x+1 $$, sendo $$ \mathbb{R} $$ o grupo aditivo dos reais. d) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} imes \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x)=(x, 0) $$ em que $$ \mathbb{Z} $$ e $$ \mathbb{Z} imes \mathbb{Z} $$ denotam grupos aditivos. e) $$ f: \mathbb{Z} imes \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x, y)=x $$ em que $$ \mathbb{Z} \mathrm{e} \mathbb{Z} imes \mathbb{Z} $$ denotam grupos aditivos. f) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} $$ dada por $$ f(x)=2^{x} $$, em que $$ \mathbb{Z} $$ é grupo aditivo e $$ \mathbb{R}_{+}^{*} $$ é grupo multiplicativo. 49. Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores do exercício 48 .

Question

Exercicios 48. Verifique em cada caso se $$ f $$ é um homomorfismo: a) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x)=k x $$, sendo $$ \mathbb{Z} $$ o grupo aditivo dos inteiros e $$ k $$ um inteiro dado. b) $$ f: \mathbb{R}^{*} ightarrow \mathbb{R}^{*} $$ dada por $$ f(x)=|x| $$, sendo $$ \mathbb{R}^{*} $$ o grupo multiplicativo dos reais. c) $$ f: \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x)=x+1 $$, sendo $$ \mathbb{R} $$ o grupo aditivo dos reais. d) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x)=(x, 0) $$ em que $$ \mathbb{Z} $$ e $$ \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z} $$ denotam grupos aditivos. e) $$ f: \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x, y)=x $$ em que $$ \mathbb{Z} \mathrm{e} \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z} $$ denotam grupos aditivos. f) $$ f: \mathbb{Z} ightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} $$ dada por $$ f(x)=2^{x} $$, em que $$ \mathbb{Z} $$ é grupo aditivo e $$ \mathbb{R}_{+}^{*} $$ é grupo multiplicativo. 49. Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores do exercício 48 .

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Vamos analisar cada parte dos exercícios 48 e, em seguida, determinar quais dos homomorfismos são injetores e/ou sobrejetores no exercício 49.

## Exercício 48

**48. Verifique em cada caso se $$ f $$ é um homomorfismo:**

### a) $$ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x) = kx $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** Sim.
  $$
  f(x + y) = k(x + y) = kx + ky = f(x) + f(y)
  $$
  
### b) $$ f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*} $$ dada por $$ f(x) = |x| $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** Sim.
  $$
  f(x \cdot y) = |x \cdot y| = |x| \cdot |y| = f(x) \cdot f(y)
  $$

### c) $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x) = x + 1 $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** **Não**.
  $$
  f(x + y) = (x + y) + 1 \neq (x + 1) + (y + 1) = f(x) + f(y)
  $$

### d) $$ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x) = (x, 0) $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** Sim.
  $$
  f(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y)
  $$

### e) $$ f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $$ dada por $$ f(x, y) = x $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** Sim.
  $$
  f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = x_1 + x_2 = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2)
  $$

### f) $$ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} $$ dada por $$ f(x) = 2^{x} $$

**Verificação:**
- **Homomorfismo:** Sim.
  $$
  f(x + y) = 2^{x + y} = 2^{x} \cdot 2^{y} = f(x) \cdot f(y)
  $$

## Exercício 49

**49. Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores do exercício 48.**

Vamos considerar apenas os casos em que $$ f $$ é um homomorfismo (a, b, d, e e f).

### a) $$ f(x) = kx $$

- **Injetividade:**
  - **Sim**, **se e somente se** $$ k \neq 0 $$.
  - **Justificativa:** Se $$ k = 0 $$, todos os elementos são mapeados para 0, não sendo injetivo.
  
- **Sobrejetividade:**
  - **Sim**, **se e somente se** $$ k = 1 $$ ou $$ k = -1 $$.
  - **Justificativa:** Apenas nesses casos, todo inteiro $$ z $$ pode ser escrito como $$ z = kx $$ para algum $$ x \in \mathbb{Z} $$.

### b) $$ f(x) = |x| $$

- **Injetividade:**
  - **Não**.
  - **Justificativa:** $$ f(x) = f(-x) $$ para todo $$ x \in \mathbb{R}^{*} $$.
  
- **Sobrejetividade:**
  - **Sim**.
  - **Justificativa:** Para qualquer $$ y \in \mathbb{R}^{*} $$, existe $$ x = y $$ ou $$ x = -y $$ tal que $$ f(x) = y $$.

### d) $$ f(x) = (x, 0) $$

- **Injetividade:**
  - **Sim**.
  - **Justificativa:** Se $$ f(x) = f(y) $$, então $$ (x, 0) = (y, 0) $$ implica $$ x = y $$.
  
- **Sobrejetividade:**
  - **Não**.
  - **Justificativa:** Elementos como $$ (0, y) $$ com $$ y \neq 0 $$ não estão na imagem de $$ f $$.

### e) $$ f(x, y) = x $$

- **Injetividade:**
  - **Não**.
  - **Justificativa:** Diferentes pares $$ (x, y) $$ podem ter o mesmo $$ x $$, por exemplo, $$ (1,0) $$ e $$ (1,1) $$.
  
- **Sobrejetividade:**
  - **Sim**.
  - **Justificativa:** Para qualquer $$ z \in \mathbb{Z} $$, o par $$ (z, 0) $$ satisfaz $$ f(z, 0) = z $$.

### f) $$ f(x) = 2^{x} $$

- **Injetividade:**
  - **Sim**.
  - **Justificativa:** A função exponencial $$ 2^{x} $$ é estritamente crescente em $$ \mathbb{Z} $$, portanto, se $$ 2^{x} = 2^{y} $$, então $$ x = y $$.
  
- **Sobrejetividade:**
  - **Não**.
  - **Justificativa:** A imagem de $$ f $$ é o conjunto $$ \{2^{x} \mid x \in \mathbb{Z}\} $$, que não cobre todos os elementos de $$ \mathbb{R}_{+}^{*} $$.

### Resumo:

| Função           | Homomorfismo | Injetora | Sobrejetora |
|------------------|--------------|----------|-------------|
| a) $$ f(x) = kx $$    | Sim          | Sim, $$ k \neq 0 $$ | Sim, $$ k = \pm1 $$ |
| b) $$ f(x) = |x| $$    | Sim          | Não      | Sim         |
| d) $$ f(x) = (x,0) $$  | Sim          | Sim      | Não         |
| e) $$ f(x,y) = x $$    | Sim          | Não      | Sim         |
| f) $$ f(x) = 2^{x} $$  | Sim          | Sim      | Não         |
**Respostas aos Exercícios 48 e 49:** 1. **Exercício 48:** - **a)** $$ f(x) = kx $$ é um homomorfismo se $$ k \neq 0 $$. - **b)** $$ f(x) = |x| $$ é um homomorfismo. - **c)** $$ f(x) = x + 1 $$ **não** é um homomorfismo. - **d)** $$ f(x) = (x, 0) $$ é um homomorfismo. - **e)** $$ f(x, y) = x $$ é um homomorfismo. - **f)** $$ f(x) = 2^{x} $$ é um homomorfismo. 2. **Exercício 49:** - **a)** $$ f(x) = kx $$: - **Injetora:** Sim, se $$ k \neq 0 $$. - **Sobrejetora:** Sim, se $$ k = \pm1 $$. - **b)** $$ f(x) = |x| $$: - **Injetora:** Não. - **Sobrejetora:** Sim. - **d)** $$ f(x) = (x, 0) $$: - **Injetora:** Sim. - **Sobrejetora:** Não. - **e)** $$ f(x, y) = x $$: - **Injetora:** Não. - **Sobrejetora:** Sim. - **f)** $$ f(x) = 2^{x} $$: - **Injetora:** Sim. - **Sobrejetora:** Não. **Resumo:** | Função | Homomorfismo | Injetora | Sobrejetora | |------------------|--------------|----------|-------------| | a) $$ f(x) = kx $$ | Sim | Sim, $$ k \neq 0 $$ | Sim, $$ k = \pm1 $$ | | b) $$ f(x) = |x| $$ | Sim | Não | Sim | | d) $$ f(x) = (x,0) $$ | Sim | Sim | Não | | e) $$ f(x,y) = x $$ | Sim | Não | Sim | | f) $$ f(x) = 2^{x} $$ | Sim | Sim | Não |

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Answer

Solution

Exercício 48

a) dada por

b) dada por

c) dada por

d) dada por

e) dada por

f) dada por

Exercício 49

a)

b)

d)

e)

f)

Resumo:

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Função	Homomorfismo	Injetora	Sobrejetora
a)	Sim	Sim,	Sim,
b) ( f(x) =	x	)	Sim	Não	Sim
d)	Sim	Sim	Não
e)	Sim	Não	Sim
f)	Sim	Sim	Não