80. En el espacio, se considera el punto $$ P(5,-2,9) $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{6} $$. a) Calcular la ecuación de la recta $$ s $$ que corta perpendicularmente a $$ r $$ y que pasa por $$ P $$ b) Calcular el punto de corte $$ T $$ entre las rectas $$ r $$ y $$ s $$ c) Calcular el punto $$ Q $$ simétrico de $$ P $$ respecto de $$ r $$ d) Comprobar que $$ Q $$ pertenece a $$ s $$

Question

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a) **Calcular la ecuación de la recta $$ s $$ que corta perpendicularmente a $$ r $$ y que pasa por $$ P(5,-2,9) $$:**

Primero, expresamos la recta $$ r $$ en forma paramétrica. Dada la ecuación simétrica:

$$
\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{6} = \lambda
$$

Las ecuaciones paramétricas de $$ r $$ son:

$$
\begin{cases}
x = 1 - 2\lambda \
y = -1 - 3\lambda \
z = 6\lambda
\end{cases}
$$

El vector director de $$ r $$ es $$ \mathbf{v} = (-2, -3, 6) $$.

Para encontrar la recta $$ s $$ perpendicular a $$ r $$ que pasa por el punto $$ P(5,-2,9) $$, buscamos el punto $$ T $$ en $$ r $$ tal que el vector $$ \overrightarrow{PT} $$ sea perpendicular a $$ \mathbf{v} $$.

Sea $$ T(1 - 2\lambda, -1 - 3\lambda, 6\lambda) $$, entonces:

$$
\overrightarrow{PT} = (1 - 2\lambda - 5, \ -1 - 3\lambda - (-2), \ 6\lambda - 9) = (-4 - 2\lambda, 1 - 3\lambda, 6\lambda - 9)
$$

La condición de perpendicularidad es:

$$
\overrightarrow{PT} \cdot \mathbf{v} = 0
$$

Calculamos el producto punto:

$$
(-4 - 2\lambda)(-2) + (1 - 3\lambda)(-3) + (6\lambda - 9)(6) = 0
$$
$$
8 + 4\lambda + (-3 + 9\lambda) + (36\lambda - 54) = 0
$$
$$
49\lambda - 49 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1
$$

Por lo tanto, el punto de intersección es $$ T(-1, -4, 6) $$.

Ahora, la recta $$ s $$ pasa por $$ P(5,-2,9) $$ y $$ T(-1,-4,6) $$, y su vector director es:

$$
\overrightarrow{PT} = (-6, -2, -3)
$$

Por lo tanto, la ecuación paramétrica de la recta $$ s $$ es:

$$
\begin{cases}
x = 5 - 6\mu \
y = -2 - 2\mu \
z = 9 - 3\mu
\end{cases}
$$

O, en forma simétrica:

$$
\frac{x - 5}{-6} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 9}{-3}
$$
a) **Ecuación de la recta $$ s $$:** La recta $$ s $$ pasa por el punto $$ P(5, -2, 9) $$ y es perpendicular a la recta $$ r $$. Su ecuación paramétrica es: $$ \begin{cases} x = 5 - 6\mu \ y = -2 - 2\mu \ z = 9 - 3\mu \end{cases} $$ O en forma simétrica: $$ \frac{x - 5}{-6} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 9}{-3} $$

En el espacio, se considera el punto y la recta .
a) Calcular la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a y que pasa por
b) Calcular el punto de corte entre las rectas y
c) Calcular el punto simétrico de respecto de
d) Comprobar que pertenece a

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Solution

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a) Ecuación de la recta que corta perpendicularmente a y que pasa por .

b) Calcular el punto de corte entre las rectas y .

c) Calcular el punto simétrico de respecto de .

d) Comprobar que pertenece a .

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En el espacio, se considera el punto y la recta . a) Calcular la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a y que pasa por b) Calcular el punto de corte entre las rectas y c) Calcular el punto simétrico de respecto de d) Comprobar que pertenece a