80. En el espacio, se considera el punto \( P(5,-2,9) \) y la recta \( r \equiv \frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{6} \). a) Calcular la ecuación de la recta \( s \) que corta perpendicularmente a \( r \) y que pasa por \( P \) b) Calcular el punto de corte \( T \) entre las rectas \( r \) y \( s \) c) Calcular el punto \( Q \) simétrico de \( P \) respecto de \( r \) d) Comprobar que \( Q \) pertenece a \( s \)

Para resolver este ejercicio, sigamos los pasos solicitados. ### a) Ecuación de la recta \( s \) que corta perpendicularmente a \( r \) y que pasa por \( P(5,-2,9) \). La recta \( r \) se puede expresar en la forma paramétrica. Dado \( \frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{6} \), podemos identificar el vector director de \( r \) como \( \mathbf{d_r} = (-2, -3, 6) \). La dirección de la recta \( s \), que es perpendicular a \( r \), se puede encontrar tomando el producto vectorial. Así, la normal puede ser representada por un vector \( \mathbf{d_s} = (a, b, c) \) que satisface el producto punto \( \mathbf{d_r} \cdot \mathbf{d_s} = 0 \). Sin embargo, podemos tomar un vector que claramente es ortogonal, como \( (1, 1, 1) \). Por lo tanto, la recta \( s \) que pasa por el punto \( P(5,-2,9) \) se puede parametrizar como: \[ s: \begin{cases} x = 5 + t \\ y = -2 + t \\ z = 9 + t \end{cases} \] donde \( t \) es el parámetro de la recta \( s \). ### b) Calcular el punto de corte \( T \) entre las rectas \( r \) y \( s \). Para encontrar el punto de intersección \( T \), igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. De \( r \): \[ x = 1 - 2t_1, \quad y = -1 - 3t_1, \quad z = 6t_1 \] De \( s \): \[ x = 5 + t_2, \quad y = -2 + t_2, \quad z = 9 + t_2 \] Igualamos las coordenadas y obtenemos un sistema de ecuaciones: 1. \( 1 - 2t_1 = 5 + t_2 \) 2. \( -1 - 3t_1 = -2 + t_2 \) 3. \( 6t_1 = 9 + t_2 \) Resolviendo el sistema empezamos con la primera. De la ecuación (1): \[ t_2 = -2t_1 - 4 \] Sustituyendo en (2): \[ -1 - 3t_1 = -2 - 2t_1 - 4 \] Resolviendo: \[ -1 - 3t_1 = -6 - 2t_1 \implies -t_1 = -5 \implies t_1 = 5 \] Sustituyendo \( t_1 \) en (1) para encontrar \( t_2 \): \[ t_2 = -2(5) - 4 = -10 - 4 = -14 \] Ahora, usando \( t_1 \) en la ecuación de \( r \): \[ T = \left(1 - 2(5), -1 - 3(5), 6(5)\right) = (-9, -16, 30) \] ### c) Calcular el punto \( Q \) simétrico de \( P \) respecto de \( r \). Para encontrar el punto simétrico, primero determinamos el vector desde \( P \) hasta el punto \( T \): \[ \vec{PT} = T - P = (-9 - 5, -16 + 2, 30 - 9) = (-14, -14, 21) \] El punto simétrico \( Q \) es: \[ Q = T + \vec{PT} = (-9, -16, 30) + (-14, -14, 21) = (-23, -30, 51) \] ### d) Comprobar que \( Q \) pertenece a \( s \). Sustituyendo \( Q(-23, -30, 51) \) en la ecuación paramétrica de \( s \): Por \( x = 5 + t \): \[ -23 = 5 + t \implies t = -28 \] Por \( y = -2 + t \): \[ -30 = -2 + t \implies t = -28 \] Por