$$ \frac { 2 \sin x \cos x } { \sin x - \cos x } \geq 0 $$

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Per risolvere l'inequazione trigonometriche: $$ \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x - \cos x} \geq 0 $$ seguiamo i seguenti passaggi: ### 1. Semplificazione dell'inequazione Innanzitutto, notiamo che: $$ 2 \sin x \cos x = \sin(2x) $$ Quindi, l'inequazione diventa: $$ \frac{\sin(2x)}{\sin x - \cos x} \geq 0 $$ ### 2. Individuazione dei punti critici Per determinare i segnali dell'espressione, identificare i valori di $$ x $$ che annullano il numeratore e il denominatore. - **Numeratore:** $$\sin(2x) = 0$$ quando $$2x = k\pi$$, ovvero $$x = \frac{k\pi}{2}$$, dove $$k$$ è un intero. - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x = 0$$ quando $$\sin x = \cos x$$, ovvero $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$, dove $$k$$ è un intero. ### 3. Analisi del segno nell'intervallo fondamentale $$[0, 2\pi)$$ Consideriamo l'intervallo $$ [0, 2\pi) $$ e individuiamo i punti critici all'interno di questo intervallo: - $$x = 0$$ - $$x = \frac{\pi}{4}$$ - $$x = \frac{\pi}{2}$$ - $$x = \frac{5\pi}{4}$$ - $$x = \frac{3\pi}{2}$$ - $$x = 2\pi$$ Dividiamo l'intervallo in sottointervalli e analizziamo il segno dell'espressione in ciascuno di essi. #### a) $$ \left(0, \frac{\pi}{4}\right) $$ - **Numeratore:** $$\sin(2x) > 0$$ - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x < 0$$ (poiché $$\cos x > \sin x$$ in questo intervallo) - **Risultato:** $$\frac{+}{-} < 0$$ → **Non soddisfa l'inequazione** #### b) $$ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) $$ - **Numeratore:** $$\sin(2x) > 0$$ - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x > 0$$ (poiché $$\sin x > \cos x$$ in questo intervallo) - **Risultato:** $$\frac{+}{+} > 0$$ → **Soddisfa l'inequazione** #### c) $$ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right) $$ - **Numeratore:** $$\sin(2x)$$ varia di segno (negativo per $$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$ e positivo per $$x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$$) - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x > 0$$ per $$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$$ - **Risultato:** Dipende dall'intervallo specifico, ma in generale non tutte le parti soddisfano l'inequazione. #### d) $$ \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) $$ - **Numeratore:** $$\sin(2x) < 0$$ - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x < 0$$ - **Risultato:** $$\frac{-}{-} > 0$$ → **Soddisfa l'inequazione** #### e) $$ \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) $$ - **Numeratore:** $$\sin(2x) > 0$$ per $$x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$$ - **Denominatore:** $$\sin x - \cos x < 0$$ - **Risultato:** $$\frac{+}{-} < 0$$ → **Non soddisfa l'inequazione** ### 4. Inclusione dei punti critici Consideriamo i punti in cui il numeratore è zero: - $$x = \frac{k\pi}{2}$$, dove l'espressione è zero e quindi soddisfa l'inequazione $$\geq 0$$. I punti in cui il denominatore è zero ($$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$) devono essere esclusi dalla soluzione poiché rendono l'espressione indefinita. ### 5. Soluzione generale Combinando le analisi sopra, la soluzione generale dell'inequazione è data da: $$ x \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{5\pi}{4} + k\pi\right] \quad \text{per ogni intero } k $$ ### 6. Rappresentazione su un grafico Per visualizzare la soluzione, si può rappresentare un grafico del segno dell'espressione $$\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x - \cos x}$$ e identificare gli intervalli in cui il valore è maggiore o uguale a zero. ### 7. Conclusione La soluzione dell'inequazione $$\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x - \cos x} \geq 0$$ è l'insieme dei valori di $$ x $$ appartenenti agli intervalli: $$ x \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{5\pi}{4} + k\pi\right] \quad \text{dove } k \text{ è un numero intero} $$ La soluzione dell'inequazione $$\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x - \cos x} \geq 0$$ è: $$ x \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{5\pi}{4} + k\pi\right] \quad \text{per ogni intero } k $$

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