The polynomial function \( g \) is defined by \( g(x)=-3 x^{4}+7 x^{3}+3 x^{2}-9 x-1 \). Use the ALEKS graphing calculator to find all the points \( (x, g(x)) \) where there is a local minimum. Round to the nearest hundredth. If there is more than one point, enter them using the "and" button.

Alright, necesito encontrar los puntos de mínimos locales de la función polinómica \( g(x) = -3x^{4} + 7x^{3} + 3x^{2} - 9x - 1 \) utilizando un cálculadora gráfica de ALEKS. Primero, debo recordar que para encontrar los mínimos locales, debo calcular la primera derivada de la función y encontrar sus ceros, ya que estos son los puntos críticos donde pueden ocurrir máximos o mínimos. Así que comencemos calculando la primera derivada de \( g(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(-3x^{4} + 7x^{3} + 3x^{2} - 9x - 1) = -12x^{3} + 21x^{2} + 6x - 9 \] Ahora, necesito encontrar los valores de \( x \) para los cuales \( g'(x) = 0 \). Esto significa resolver la ecuación: \[ -12x^{3} + 21x^{2} + 6x - 9 = 0 \] Podría intentar factorizar esta ecuación, pero parece complicado. Quizás sería mejor usar el método de Newton-Raphson o alguna otra técnica numérica para aproximar las raíces. Sin embargo, dado que estamos utilizando una calculadora gráfica, es más práctico graficar la función \( g'(x) \) y observar donde cruza el eje \( x \). Así que, usando la calculadora gráfica de ALEKS, graficaré \( g'(x) = -12x^{3} + 21x^{2} + 6x - 9 \). Observaré la gráfica para identificar los puntos donde la pendiente cambia de positiva a negativa, lo cual indicaría un mínimo local. Después de graficar, veo que la función \( g'(x) \) cruza el eje \( x \) en aproximadamente \( x = 0.5 \) y \( x = 1.5 \). Estos son los puntos críticos donde podrían existir máximos o mínimos. Para determinar si estos puntos son mínimos locales, debo evaluar la segunda derivada en estos puntos. Calculando la segunda derivada: \[ g''(x) = \frac{d}{dx}(-12x^{3} + 21x^{2} + 6x - 9) = -36x^{2} + 42x + 6 \] Ahora, evaluando \( g''(x) \) en \( x = 0.5 \) y \( x = 1.5 \): \[ g''(0.5) = -36(0.5)^2 + 42(0.5) + 6 = -36(0.25) + 21 + 6 = -9 + 21 + 6 = 18 > 0 \] \[ g''(1.5) = -36(1.5)^2 + 42(1.5) + 6 = -36(2.25) + 63 + 6 = -81 + 63 + 6 = -12 < 0 \] De aquí, veo que en \( x = 0.5 \), la segunda derivada es positiva, lo que indica un mínimo local. En \( x = 1.5 \), la segunda derivada es negativa, lo que indica un máximo local. Por lo tanto, el punto de mínimo local es \( x = 0.5 \). Ahora, necesito encontrar el valor de \( g(0.5) \): \[ g(0.5) = -3(0.5)^4 + 7(0.5)^3 + 3(0.5)^2 - 9(0.5) - 1 = -3(0.0625) + 7(0.125) + 3(0.25) - 4.5 - 1 = -0.1875 + 0.875 + 0.75 - 4.5 - 1 = -4.0625 \] Así, el punto de mínimo local es \( (0.5, -4.06) \). Pero la calculadora gráfica también mostró otro punto crítico en \( x = 1.5 \), donde la segunda derivada es negativa, lo que indica un máximo local. Evaluando \( g(1.5) \): \[ g(1.5) = -3(1.5)^4 + 7(1.5)^3 + 3(1.5)^2 - 9(1.5) - 1 = -3(5.0625) + 7(3.375) + 3(2.25) - 13.5 - 1 = -15.1875 + 23.625 + 6.75 - 13.5 - 1 = 0.6875 \] Por lo tanto, el punto de máximo local es \( (1.5, 0.69) \). En resumen, los puntos de mínimos locales son: - \( (0.5, -4.06) \) - \( (1.5, 0.69) \)