Determina el área encerrada entre las funciones \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) y \( y = -x + 5 \).

Para determinar el área encerrada entre las funciones \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) y \( y = -x + 5 \), seguiremos los siguientes pasos: ## 1. Encontrar los puntos de intersección Primero, igualamos las dos funciones para encontrar los valores de \( x \) donde se intersectan: \[ \frac{1}{2}x + 3 = -x + 5 \] Resolviendo para \( x \): \[ \frac{1}{2}x + x = 5 - 3 \] \[ \frac{3}{2}x = 2 \] \[ x = \frac{2 \times 2}{3} = \frac{4}{3} \] Ahora, sustituimos \( x = \frac{4}{3} \) en una de las ecuaciones para encontrar \( y \): \[ y = -\left(\frac{4}{3}\right) + 5 = -\frac{4}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3} \] Entonces, el punto de intersección es \( \left(\frac{4}{3}, \frac{11}{3}\right) \). Sin embargo, observemos que ambas funciones son líneas rectas y, por lo tanto, solo se intersectan en un único punto. Para que exista un área encerrada, necesitamos considerar los límites de integración donde una función está por encima de la otra. Observemos los valores de \( y \) a diferentes valores de \( x \): - Para \( x \) muy negativos, \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) será menor que \( y = -x + 5 \). - Para \( x \) muy positivos, \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) crecerá más que \( y = -x + 5 \). Entonces, debemos encontrar otro punto de intersección para determinar el intervalo donde se encierra el área. Sin embargo, dado que ambas son líneas rectas y solo se intersectan en un punto, no hay un área finita encerrada entre ellas. Esto significa que las líneas se cruzan pero no forman una región cerrada limitada. **Conclusión:** Las funciones \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) y \( y = -x + 5 \) solo se intersectan en un punto y, por lo tanto, no encierra un área finita entre ellas. Sin embargo, si consideramos un intervalo específico para \( x \), podemos calcular el área entre las dos líneas en ese rango. Por ejemplo, si queremos calcular el área entre \( x = a \) y \( x = b \), podemos usar la siguiente integral: \[ \text{Área} = \int_{a}^{b} \left[ \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) - \left( -x + 5 \right) \right] \, dx = \int_{a}^{b} \left( \frac{3}{2}x - 2 \right) \, dx \] Pero, sin límites específicos para \( x \), no es posible determinar un área finita.