2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de $$ 50^{\circ} $$, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de $$ 60^{\circ} $$. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B , calcula la distancia entre los pueblos A y B.

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Para resolver el problema, podemos utilizar la ley de los senos en el triángulo formado por los puntos del globo, el pueblo A y el pueblo B.

1. **Identificación de los ángulos y lados**:
   - Sea $$ G $$ el punto donde se encuentra el globo.
   - Sea $$ A $$ el pueblo A.
   - Sea $$ B $$ el pueblo B.
   - El ángulo $$ \angle AGB = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ $$.
   - La distancia $$ GA = 6 $$ km (distancia del globo al pueblo A).
   - La distancia $$ GB = 4 $$ km (distancia del globo al pueblo B).

2. **Aplicación de la ley de los senos**:
   La ley de los senos establece que:
   $$
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
   $$
   donde $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$ son los lados opuestos a los ángulos $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$ respectivamente.

En nuestro caso:
   - $$ a = AB $$ (la distancia que queremos encontrar).
   - $$ A = 60^\circ $$ (ángulo en el pueblo B).
   - $$ B = 50^\circ $$ (ángulo en el pueblo A).
   - $$ C = 70^\circ $$ (ángulo en el globo).

Entonces, aplicamos la ley de los senos:
   $$
   \frac{AB}{\sin(70^\circ)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)}
   $$

3. **Cálculo de $$ AB $$**:
   Primero, calculamos $$ \sin(60^\circ) $$ y $$ \sin(70^\circ) $$:
   - $$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
   - $$ \sin(70^\circ) \approx 0.9397 $$

Sustituyendo en la ecuación:
   $$
   \frac{AB}{0.9397} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
   $$
   $$
   AB = 0.9397 \cdot \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 0.9397 \cdot \frac{12}{\sqrt{3}}
   $$
   $$
   AB \approx 0.9397 \cdot 6.9282 \approx 6.5 \text{ km}
   $$

Por lo tanto, la distancia entre los pueblos A y B es aproximadamente **6.5 kilómetros**.
La distancia entre los pueblos A y B es aproximadamente 6.5 kilómetros.

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de , y otro B, situado al otro
lado y en línea recta, con un ángulo de . Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6
kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B , calcula la distancia entre los pueblos A y B.

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Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de , y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de . Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B , calcula la distancia entre los pueblos A y B.