Question
3. Encuentrar el área de la región limitada por \( f(x)=-x^{2} \) y su recta tangente en \( a=1 \) y el eje de ordenadas. Graficar
Ask by Stanley Christensen. in Argentina
Dec 09,2024
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
El área de la región limitada es \( \frac{1}{3} \).
Solution
Para encontrar el área de la región limitada por la función \( f(x) = -x^2 \), su recta tangente en \( a = 1 \) y el eje de ordenadas, seguiremos los siguientes pasos:
1. **Encontrar la derivada de \( f(x) \)**:
\[
f'(x) = -2x
\]
2. **Calcular la pendiente de la tangente en \( a = 1 \)**:
\[
f'(1) = -2(1) = -2
\]
3. **Calcular el valor de \( f(1) \)**:
\[
f(1) = -1^2 = -1
\]
4. **Encontrar la ecuación de la recta tangente**:
La ecuación de la recta tangente en el punto \( (1, -1) \) es:
\[
y - f(1) = f'(1)(x - 1)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
y + 1 = -2(x - 1)
\]
Simplificando:
\[
y = -2x + 2 - 1 \implies y = -2x + 1
\]
5. **Encontrar los puntos de intersección entre la recta tangente y la función**:
Igualamos \( f(x) \) y la ecuación de la recta tangente:
\[
-x^2 = -2x + 1
\]
Reorganizando:
\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]
Esto se puede factorizar como:
\[
(x - 1)^2 = 0
\]
Por lo tanto, la única solución es \( x = 1 \). Esto significa que la recta tangente toca la parábola en \( (1, -1) \).
6. **Encontrar el área entre la función, la recta tangente y el eje de ordenadas**:
La región está limitada por \( x = 0 \) y \( x = 1 \). El área se puede calcular como:
\[
A = \int_0^1 (y_{\text{tangente}} - y_{\text{parábola}}) \, dx
\]
Donde \( y_{\text{tangente}} = -2x + 1 \) y \( y_{\text{parábola}} = -x^2 \):
\[
A = \int_0^1 \left((-2x + 1) - (-x^2)\right) \, dx
\]
Simplificando:
\[
A = \int_0^1 (-2x + 1 + x^2) \, dx
\]
Ahora calculamos la integral:
\[
A = \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx
\]
\[
= \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_0^1
\]
Evaluando en los límites:
\[
= \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left( 0 \right)
\]
\[
= \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) = \frac{1}{3}
\]
Por lo tanto, el área de la región limitada es \( \frac{1}{3} \).
### Gráfica
Para graficar la función \( f(x) = -x^2 \) y la recta tangente \( y = -2x + 1 \):
1. La parábola \( f(x) = -x^2 \) es una parábola que abre hacia abajo.
2. La recta tangente \( y = -2x + 1 \) es una línea recta que tiene una pendiente negativa.
Aquí tienes una representación gráfica de ambas funciones:
```plaintext
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1| *
| * *
| * *
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Para encontrar el área de la región limitada por \( f(x)=-x^{2} \), primero necesitamos calcular la ecuación de la recta tangente en \( a=1 \). Derivando \( f(x) \), obtenemos \( f'(x) = -2x \). Evaluando en \( a=1 \), tenemos \( f'(1) = -2 \). Así que la pendiente de la tangente es \( -2 \). La ecuación de la recta tangente es \( y - f(1) = f'(1)(x - 1) \). Dado que \( f(1) = -1 \), la ecuación se convierte en \( y + 1 = -2(x - 1) \) o \( y = -2x + 1 \). Ahora, graficamos \( f(x) \) y la recta tangente. La intersección de la recta tangente con el eje de ordenadas ocurre cuando \( x=0 \), y \( y=1 \). La región limitada está formada por la curva y la recta entre \( x=1 \) y el punto donde la tangente corta al eje \( x \) que se da al resolver \( -2x + 1 = 0 \), es decir \( x = 0.5 \). **Ahora, calculemos el área:** El área se puede calcular con la integral definida. El área \( A \) es: \[ A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2 - (-2x+1)) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x - 1) \, dx \] Calculando la integral: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} + 1 - 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} \] ¡El área de la región es \( \frac{1}{3} \) unidades cuadradas! ¡No olvides la gráfica! Puedes usar software como Desmos o GeoGebra para visualizar \( f(x) \) y la tangente, resaltando el área entre ellas. ¡Suerte!
