\( \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[6]{6}}=\sqrt[12]{a^{5} \cdot b^{4}} \) a ve \( b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere, eşitliği sağlanıyor. Buna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaççır? \( \begin{array}{lllll}\text { A) } 3 & \text { B) } 6 & \text { C) } 8 & \text { D) } 9 & \text { E) } 12\end{array} \) \( \begin{array}{llll}\text { Aşağıdaki sayı doğr } \\ \text { konumları verilo }\end{array} \)

Öncelikle ifadeyi sadeleştirelim: \[ \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[6]{6}} \] Üstlü ifadeleri birleştirirken, sayıları ve kökleri bir araya getirebiliriz: 1. \(\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}\) 2. \(\sqrt[2]{2} = 2^{1/2}\) 3. \(\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}\) 4. \(\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{2 \cdot 3} = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[6]{3} = (2 \cdot 3)^{1/6} = 2^{1/6} \cdot 3^{1/6}\) Şimdi, üstlü sayılarla ifadeyi bir araya getirelim: \[ \text{Numaratör: } 3^{1/3 + 1/4} \cdot 2^{1/2} \] \[ \text{Payda: } 3^{1/6} \cdot 2^{1/6} \] Buradan, paydaki kesirleri çıkaralım: \[ \frac{3^{1/3 + 1/4} \cdot 2^{1/2}}{3^{1/6} \cdot 2^{1/6}} = 3^{(1/3 + 1/4) - 1/6} \cdot 2^{(1/2) - 1/6} \] Burada üstlü ifadeleri birleştirelim: \(1/3 + 1/4 = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\) Ve daha sonra: \( \frac{7}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \) Ve 2’yi sadeleştirirken: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) Sonuç olarak: \[ \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[6]{6}} = 3^{5/12} \cdot 2^{1/3} \] Şimdi, bu ifadeyi istenen formdaki eşitlikle karşılaştıralım: \[ = \sqrt[12]{a^5 \cdot b^4} \] Buradan: \( a^5 = 3^5 \) ve \( b^4 = 2^4 \) ile doğru eşleşim sağlanır. Bu durumda: \( a = 3 \) ve \( b = 2 \). Sonuç olarak: \( a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6 \) Doğru cevap B) 6.