Dati i punti \( A(1 ;-2), B(3 ; 4) \) e \( C(-1 ; 0) \), trova l'equazione della retta: a. passante per \( B \) e perpendicolare alla retta \( A C \); b. parallela alla retta \( A B \) e passante per \( C \); c. passante per \( B \) e per \( C \).
Real Tutor Solution
Answer
Solution
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Explain 
Simplify this solution Beyond the Answer
Iniziamo con la parte a. Per trovare l'equazione della retta passante per \( B(3; 4) \) e perpendicolare alla retta \( AC \), dobbiamo prima calcolare il coefficiente angolare della retta \( AC \). La pendenza \( m_{AC} \) è data dalla formula: \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0 - (-2)}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 \] Essendo la retta perpendicolare a \( AC \), il coefficiente angolare \( m_{B} \) della retta che cerchiamo sarà l'inverso negativo di \( m_{AC} \): \[ m_{B} = 1 \] Usando la formula della retta \( y - y_1 = m(x - x_1) \) con \( B(3; 4) \), otteniamo: \[ y - 4 = 1(x - 3) \implies y = x + 1 \] Passiamo ora alla parte b. La retta parallela alla retta \( AB \) deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta che congiunge i punti \( A(1; -2) \) e \( B(3; 4) \). Calcoliamo questo coefficiente angolare \( m_{AB} \): \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \] La retta che cerchiamo passa per \( C(-1; 0) \) e quindi la sua equazione sarà: \[ y - 0 = 3(x + 1) \implies y = 3x + 3 \] Infine, per la parte c, dobbiamo trovare l'equazione della retta passante per i punti \( B(3; 4) \) e \( C(-1; 0) \) usando ancora la formula per il coefficiente angolare: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - 4}{-1 - 3} = \frac{-4}{-4} = 1 \] Ora possiamo utilizzare la formula della retta di nuovo per ottenere l'equazione: \[ y - 4 = 1(x - 3) \implies y = x + 1 \] In sintesi, le equazioni delle rette sono: a. \( y = x + 1 \); b. \( y = 3x + 3 \); c. \( y = x + 1 \).
