Dati i punti $$ A(1 ;-2), B(3 ; 4) $$ e $$ C(-1 ; 0) $$, trova l'equazione della retta: a. passante per $$ B $$ e perpendicolare alla retta $$ A C $$; b. parallela alla retta $$ A B $$ e passante per $$ C $$; c. passante per $$ B $$ e per $$ C $$.

Question

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Certamente! Procediamo con la risoluzione di ciascun punto:

### Dati:
- Punto $$ A(1, -2) $$
- Punto $$ B(3, 4) $$
- Punto $$ C(-1, 0) $$

---

### a. Equazione della retta passante per $$ B $$ e perpendicolare alla retta $$ AC $$

**Passo 1:** Troviamo la pendenza della retta $$ AC $$.

$$
m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0 - (-2)}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1
$$

**Passo 2:** La pendenza della retta perpendicolare a $$ AC $$ è il negativo reciproco di $$ m_{AC} $$.

$$
m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{-1} = 1
$$

**Passo 3:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta che passa per $$ B(3, 4) $$ con pendenza $$ 1 $$.

$$
y - y_B = m_{\perp}(x - x_B) \
y - 4 = 1(x - 3) \
y = x + 1
$$

**Equazione della retta:**

$$
y = x + 1
$$

---

### b. Equazione della retta parallela alla retta $$ AB $$ e passante per $$ C $$

**Passo 1:** Troviamo la pendenza della retta $$ AB $$.

$$
m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3
$$

**Passo 2:** Poiché la retta cercata è parallela a $$ AB $$, avrà la stessa pendenza $$ m = 3 $$.

**Passo 3:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta che passa per $$ C(-1, 0) $$ con pendenza $$ 3 $$.

$$
y - y_C = m(x - x_C) \
y - 0 = 3(x - (-1)) \
y = 3x + 3
$$

**Equazione della retta:**

$$
y = 3x + 3
$$

---

### c. Equazione della retta passante per $$ B $$ e $$ C $$

**Passo 1:** Calcoliamo la pendenza della retta che passa per i punti $$ B(3, 4) $$ e $$ C(-1, 0) $$.

$$
m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - 4}{-1 - 3} = \frac{-4}{-4} = 1
$$

**Passo 2:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta.

$$
y - y_B = m(x - x_B) \
y - 4 = 1(x - 3) \
y = x + 1
$$

**Equazione della retta:**

$$
y = x + 1
$$

---

### Riassunto delle equazioni delle rette:

a. **Retta perpendicolare a $$ AC $$ e passante per $$ B $$:**
$$
y = x + 1
$$

b. **Retta parallela a $$ AB $$ e passante per $$ C $$:**
$$
y = 3x + 3
$$

c. **Retta passante per $$ B $$ e $$ C $$:**
$$
y = x + 1
$$
**Risposte:** a. **Retta perpendicolare a $$ AC $$ e passante per $$ B $$:** $$ y = x + 1 $$ b. **Retta parallela a $$ AB $$ e passante per $$ C $$:** $$ y = 3x + 3 $$ c. **Retta passante per $$ B $$ e $$ C $$:** $$ y = x + 1 $$

Dati i punti e , trova l’equazione della retta:
a. passante per e perpendicolare alla retta ;
b. parallela alla retta e passante per ;
c. passante per e per .

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a. passante per e perpendicolare alla retta ;
b. parallela alla retta e passante per ;
c. passante per e per .