Dati i punti \( A(1 ;-2), B(3 ; 4) \) e \( C(-1 ; 0) \), trova l'equazione della retta: a. passante per \( B \) e perpendicolare alla retta \( A C \); b. parallela alla retta \( A B \) e passante per \( C \); c. passante per \( B \) e per \( C \).

Certamente! Procediamo con la risoluzione di ciascun punto: ### Dati: - Punto \( A(1, -2) \) - Punto \( B(3, 4) \) - Punto \( C(-1, 0) \) --- ### a. Equazione della retta passante per \( B \) e perpendicolare alla retta \( AC \) **Passo 1:** Troviamo la pendenza della retta \( AC \). \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0 - (-2)}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 \] **Passo 2:** La pendenza della retta perpendicolare a \( AC \) è il negativo reciproco di \( m_{AC} \). \[ m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{-1} = 1 \] **Passo 3:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta che passa per \( B(3, 4) \) con pendenza \( 1 \). \[ y - y_B = m_{\perp}(x - x_B) \\ y - 4 = 1(x - 3) \\ y = x + 1 \] **Equazione della retta:** \[ y = x + 1 \] --- ### b. Equazione della retta parallela alla retta \( AB \) e passante per \( C \) **Passo 1:** Troviamo la pendenza della retta \( AB \). \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \] **Passo 2:** Poiché la retta cercata è parallela a \( AB \), avrà la stessa pendenza \( m = 3 \). **Passo 3:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta che passa per \( C(-1, 0) \) con pendenza \( 3 \). \[ y - y_C = m(x - x_C) \\ y - 0 = 3(x - (-1)) \\ y = 3x + 3 \] **Equazione della retta:** \[ y = 3x + 3 \] --- ### c. Equazione della retta passante per \( B \) e \( C \) **Passo 1:** Calcoliamo la pendenza della retta che passa per i punti \( B(3, 4) \) e \( C(-1, 0) \). \[ m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - 4}{-1 - 3} = \frac{-4}{-4} = 1 \] **Passo 2:** Utilizziamo la forma punto-pendenza per trovare l'equazione della retta. \[ y - y_B = m(x - x_B) \\ y - 4 = 1(x - 3) \\ y = x + 1 \] **Equazione della retta:** \[ y = x + 1 \] --- ### Riassunto delle equazioni delle rette: a. **Retta perpendicolare a \( AC \) e passante per \( B \):** \[ y = x + 1 \] b. **Retta parallela a \( AB \) e passante per \( C \):** \[ y = 3x + 3 \] c. **Retta passante per \( B \) e \( C \):** \[ y = x + 1 \]