2. (a) \( \frac{1}{2}-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{5}\right) \) (b) \( \sin \left(2 \arctan \frac{3}{4}\right)+\tan \left(\frac{1}{2} \arcsin \frac{5}{13}\right) \) (c) \( \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \arccos \frac{a}{b}\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \arccos \frac{a}{b}\right) \) (d) \( \cos \left(\arctan \frac{15}{8}-\arcsin \frac{7}{25}\right) \)

**Problème 2 :** Simplifions chacune des expressions données dans les parties (a) à (d). --- ### **(a)** \[ \frac{1}{2} - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{5}\right) \] **Solution :** 1. **Soit** \(\theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\). Ainsi, \(\sin \theta = \frac{3}{5}\) et, par le théorème de Pythagore, \(\cos \theta = \frac{4}{5}\). 2. **Utilisons l'identité trigonométrique :** \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \] Donc, \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\theta\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\theta\right) \] 3. **Calculons \(\sin\left(\frac{1}{2}\theta\right)\) en utilisant la formule de la demi-angle :** \[ \sin\left(\frac{1}{2}\theta\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \] 4. **Substituons dans l'expression initiale :** \[ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{5}{10} - \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{5 - \sqrt{10}}{10} \] **Réponse :** \[ \frac{5 - \sqrt{10}}{10} \] --- ### **(b)** \[ \sin\left(2 \arctan \frac{3}{4}\right) + \tan\left(\frac{1}{2} \arcsin \frac{5}{13}\right) \] **Solution :** 1. **Calculons \(\sin\left(2 \arctan \frac{3}{4}\right)\) :** - Soit \(\phi = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\), donc \(\tan \phi = \frac{3}{4}\). - Dans un triangle rectangle, les côtés opposé et adjacent sont respectivement 3 et 4, donc l'hypoténuse est 5. - Ainsi, \(\sin \phi = \frac{3}{5}\) et \(\cos \phi = \frac{4}{5}\). - Utilisons la formule de double angle : \[ \sin(2\phi) = 2 \sin \phi \cos \phi = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \] 2. **Calculons \(\tan\left(\frac{1}{2} \arcsin \frac{5}{13}\right)\) :** - Soit \(\theta = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)\), donc \(\sin \theta = \frac{5}{13}\) et \(\cos \theta = \frac{12}{13}\). - Utilisons la formule de la demi-angle pour la tangente : \[ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\frac{5}{13}}{1 + \frac{12}{13}} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{25}{13}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \] 3. **Additionnons les deux résultats :** \[ \frac{24}{25} + \frac{1}{5} = \frac{24}{25} + \frac{5}{25} = \frac{29}{25} \] **Réponse :** \[ \frac{29}{25} \] --- ### **(c)** \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \arccos \frac{a}{b}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \arccos \frac{a}{b}\right) \] **Solution :** 1. **Soit** \(\theta = \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{a}{b}\right)\). Nous souhaitons simplifier : \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \] 2. **Utilisons les formules de l'addition pour la tangente :** \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \] 3. **Additionnons les deux expressions :** \[ \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{1 - \tan^2 \theta} \] \[ = \frac{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta + 1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] \[ = \frac{2 + 2\tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 2 \times \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] 4. **Simplifions en utilisant l'identité \(1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\) :** \[ 2 \times \frac{\frac{1}{\cos^2 \theta}}{1 - \tan^2 \theta} = 2 \times \frac{1}{\cos^2 \theta (1 - \tan^2 \theta)} \] \[ = 2 \times \frac{1}{\cos(2\theta)} \] 5. **Puisque \(2\theta = \arccos\left(\frac{a}{b}\right)\), nous avons :** \[ \cos(2\theta) = \frac{a}{b} \] \[ \Rightarrow 2 \times \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{2b}{a} \] **Réponse :** \[ \frac{2b}{a} \] --- ### **(d)** \[ \cos\left(\arctan \frac{15}{8} - \arcsin \frac{7}{25}\right) \] **Solution :** 1. **Soit \(\alpha = \arctan\left(\frac{15}{8}\right)\) et \(\beta = \arcsin\left(\frac{7}{25}\right)\). Nous souhaitons calculer \(\cos(\alpha - \beta)\).** 2. **Déterminons les valeurs trigonométriques pour \(\alpha\) :** - \(\tan \alpha = \frac{15}{8}\), donc dans un triangle rectangle, les côtés opposé et adjacent sont 15 et 8 respectivement. - L'hypoténuse est \(\sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\). - Ainsi, \(\sin \alpha = \frac{15}{17}\) et \(\cos \alpha = \frac{8}{17}\). 3. **Déterminons les valeurs trigonométriques pour \(\beta\) :** - \(\sin \beta = \frac{7}{25}\), donc \(\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\). 4. **Utilisons la formule de la différence des angles pour le cosinus :** \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] \[ = \left(\frac{8}{17}\right) \left(\frac{24}{25}\right) + \left(\frac{15}{17}\right) \left(\frac{7}{25}\right) \] \[ = \frac{192}{425} + \frac{105}{425} = \frac{297}{425} \] **Réponse :** \[ \frac{297}{425} \] ---