1) \( \left.\left.с=12 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{1}{4} ; 2\right) c=20 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{2}{5} ; 3\right) c=18 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{2}{3} \). 818. Знайдіть катет \( b \) прямокутного трикутника, якщо косинус кута \( A \), прилеглого до нього, і гіпотенуза \( с \) дорівнюють: 1) \( \left.\left.c=6 \mathrm{cм}, \cos A=\frac{1}{3} ; 2\right) c=14 \mathrm{~cm}, \cos A=\frac{2}{7} ; 3\right) c=8 \mathrm{~cm}, \cos A=\frac{3}{4} \). 819. Знайдіть гіпотенузу \( A B \) прямокутного трикутника \( A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right) \), якщо: 1) \( B C=16 \) см, \( \cos B=\frac{1}{8} \);

Давайте последовательно решим предложенные задачи по прямоугольным треугольникам. --- **Задача 817.** Знайдіть катет \( b \) прямокутного трикутника, якщо: 1. \( c = 12 \) см, \( \sin A = \frac{1}{4} \); 2. \( c = 20 \) см, \( \sin A = \frac{2}{5} \); 3. \( c = 18 \) см, \( \sin A = \frac{2}{3} \). **Рішення:** У прямокутному трикутнику відношення синуса кута до гіпотенузи дає протилежний катет: \[ \sin A = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad a = c \cdot \sin A \] А катет \( b \) можна знайти за допомогою теореми Піфагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = c \cdot \cos A \] Але, оскільки \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \), отримаємо: \[ b = c \cdot \sqrt{1 - \sin^2 A} \] 1. **\( c = 12 \) см, \( \sin A = \frac{1}{4} \):** \[ b = 12 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = 12 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{15}{16}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 3 \sqrt{15} \approx 11,62 \text{ см} \] 2. **\( c = 20 \) см, \( \sin A = \frac{2}{5} \):** \[ b = 20 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = 20 \cdot \sqrt{\frac{21}{25}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 4 \sqrt{21} \approx 18,33 \text{ см} \] 3. **\( c = 18 \) см, \( \sin A = \frac{2}{3} \):** \[ b = 18 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = 18 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = 18 \cdot \sqrt{\frac{5}{9}} = 18 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 6 \sqrt{5} \approx 13,42 \text{ см} \] --- **Задача 818.** Знайдіть катет \( b \) прямокутного трикутника, якщо: 1. \( c = 6 \) см, \( \cos A = \frac{1}{3} \); 2. \( c = 14 \) см, \( \cos A = \frac{2}{7} \); 3. \( c = 8 \) см, \( \cos A = \frac{3}{4} \). **Рішення:** Використовуємо визначення косинуса: \[ \cos A = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cos A \] 1. **\( c = 6 \) см, \( \cos A = \frac{1}{3} \):** \[ b = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \text{ см} \] 2. **\( c = 14 \) см, \( \cos A = \frac{2}{7} \):** \[ b = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4 \text{ см} \] 3. **\( c = 8 \) см, \( \cos A = \frac{3}{4} \):** \[ b = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 \text{ см} \] --- **Задача 819.** Знайдіть гіпотенузу \( AB \) прямокутного трикутника \( ABC \) (\( \angle C = 90^{\circ} \)), якщо: 1. \( BC = 16 \) см, \( \cos B = \frac{1}{8} \). **Рішення:** В прямокутному трикутнику: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{AC}{\cos B} \] Але ми знаємо сторони \( BC \) і можемо використати теорему Піфагора: \[ AB = \text{гіпотенуза}, \quad BC = 16 \text{ см}, \quad AC = b \] Спочатку знайдемо \( AC \) через косинус: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AC = AB \cdot \cos B \] Тепер використаємо теорему Піфагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = (AB \cdot \cos B)^2 + (16)^2 \] Підставимо значення \( \cos B = \frac{1}{8} \): \[ AB^2 = (AB \cdot \frac{1}{8})^2 + 256 \\ AB^2 = \frac{AB^2}{64} + 256 \\ AB^2 - \frac{AB^2}{64} = 256 \\ \frac{63 AB^2}{64} = 256 \\ AB^2 = \frac{256 \cdot 64}{63} \\ AB^2 = \frac{16384}{63} \\ AB = \sqrt{\frac{16384}{63}} \\ AB \approx \frac{128}{\sqrt{63}} \approx \frac{128}{7.937} \approx 16.13 \text{ см} \] **Відповідь:** Гіпотенуза \( AB \) приблизно дорівнює \( 16,13 \) см. --- Якщо виникнуть додаткові питання або необхідні інші завдання, будь ласка, дайте знати!