2. You know that $$ \frac{1}{7}=0 . \overline{142857} $$. Can you predict what the decimal expansions of $$ \frac{2}{7}, \frac{3}{7} $$ ratio $$ \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $$ are, without actually doing the long division? If so, how? [Hint : Study the remainders while finding the value of $$ \frac{1}{7} $$ carefully.]

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

نعم، يمكنك التنبؤ بتوسعات الأعداد العشرية لـ $$ \frac{2}{7} $$, $$ \frac{3}{7} $$, $$ \frac{4}{7} $$, $$ \frac{5}{7} $$ و $$ \frac{6}{7} $$ بناءً على معرفة أن $$ \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} $$ دون الحاجة إلى إجراء القسمة الطويلة. الفكرة تعتمد على تدوير الأرقام المتكررة في الكسر الدوري.

إليك الطريقة:

1. **ملاحظة النمط الدوري:** 
   الكسر $$ \frac{1}{7} $$ ينتج عنه دورة متكررة مكونة من الأرقام 142857. هذا النمط يتكرر بلا نهاية بعد الفاصلة العشرية.

2. **تطبيق التدوير للحصول على الكسور الأخرى:**
   كل كسر من $$ \frac{2}{7} $$ إلى $$ \frac{6}{7} $$ سينتج عنه نفس النمط الدوري ولكنه يبدأ من نقطة مختلفة في الدورة. بمعنى آخر، سيتم تدوير الأرقام بشكل دائري للحصول على الكسور الأخرى.

- **$$ \frac{2}{7} $$:**
     $$
     2 \times 142857 = 285714 \
     \therefore \frac{2}{7} = 0.\overline{285714}
     $$
   
   - **$$ \frac{3}{7} $$:**
     $$
     3 \times 142857 = 428571 \
     \therefore \frac{3}{7} = 0.\overline{428571}
     $$
   
   - **$$ \frac{4}{7} $$:**
     $$
     4 \times 142857 = 571428 \
     \therefore \frac{4}{7} = 0.\overline{571428}
     $$
   
   - **$$ \frac{5}{7} $$:**
     $$
     5 \times 142857 = 714285 \
     \therefore \frac{5}{7} = 0.\overline{714285}
     $$
   
   - **$$ \frac{6}{7} $$:**
     $$
     6 \times 142857 = 857142 \
     \therefore \frac{6}{7} = 0.\overline{857142}
     $$

3. **استنتاج النمط العام:**
   هذا التدوير يحدث لأن الأعداد من 1 إلى 6 عند ضربها في 142857 تعيد ترتيب الأرقام في النمط الدوري نفسه، مما يجعل عملية التنبؤ ممكنة دون الحاجة إلى القسمة الطويلة.

**النتائج النهائية:**

$$
\begin{align*}
\frac{1}{7} &= 0.\overline{142857} \
\frac{2}{7} &= 0.\overline{285714} \
\frac{3}{7} &= 0.\overline{428571} \
\frac{4}{7} &= 0.\overline{571428} \
\frac{5}{7} &= 0.\overline{714285} \
\frac{6}{7} &= 0.\overline{857142} \
\end{align*}
$$

بهذه الطريقة، يمكنك بسهولة التنبؤ بتوسعات الكسور من $$ \frac{1}{7} $$ إلى $$ \frac{6}{7} $$ بدون إجراء القسمة الطويلة، وذلك من خلال دراسة دورة الأرقام المتكررة وتدويرها بما يتناسب مع المقام.
يمكن توقع توسعات الكسور $$ \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $$ بناءً على دورة الأرقام 142857 في $$ \frac{1}{7} $$. كل كسر يبدأ من نقطة مختلفة في الدورة: - $$ \frac{2}{7} = 0.\overline{285714} $$ - $$ \frac{3}{7} = 0.\overline{428571} $$ - $$ \frac{4}{7} = 0.\overline{571428} $$ - $$ \frac{5}{7} = 0.\overline{714285} $$ - $$ \frac{6}{7} = 0.\overline{857142} $$ هذا التدوير للأرقام يسمح بتوقع توسعات الكسور الأخرى دون الحاجة إلى إجراء القسمة الطويلة.

You know that . Can you predict what the decimal expansions of ratio
are, without actually doing the long division? If so, how?
[Hint : Study the remainders while finding the value of carefully.]

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Arithmetic Questions

You know that . Can you predict what the decimal expansions of ratio are, without actually doing the long division? If so, how? [Hint : Study the remainders while finding the value of carefully.]