$$ \qquad $$ . .2025 Праклнческая работа N.16. Формулы н прави Исследованне функций с помощью пронзводн A60.1bшee н нанsенbшee значення Функции. Часть 1. Формулы п правила дифференцирования. Теоретический матернал для изучения: Учебннк по алтебре н началам математнческого ана.твза (автор Мордковнч А.Г.) §28. Oтветьте на вопросы: 1. Запишнгте формулы дифферениирования (чему равны производные следуюших элеменгарных функииі̆): $$ C $$ (const), $$ x,(k x+m),\left(x^{2}\right), \frac{1}{x^{1}} \sqrt{x}, \sin x, \cos x $$ 2. Выпииите правила длфференцирования (можно в виде формул): пропзводная суммы ити разности, что можно делать с постоянным множителем, производная произведения, производная частного. 3. Запишите формулы дифференцирования функшй $$ \chi^{n} $$ tgx, $$ \operatorname{ctg} x $$. 4. Запишите правило дифференцирования функции (kx+m). Выполните залания: 1. Найдите производные следующих функиий: a) $$ \left.y=x^{4}-7 x^{2} ; 6\right)^{y-8 \sqrt{x}+\frac{1}{x}} $$; B) $$ y=8 \operatorname{tg} x-\sin x $$; r) $$ y=\left(x^{2}+3\right)\left(x^{4}-1\right) $$ 2. Найдите значение пронзводной функини в точке хо: a) $$ y=x^{3}+8 x-4, x_{0}=1 $$. (0) $$ r=\frac{1}{r}-6, x_{0}=1 $$ ; B) $$ y=\sqrt{x}+5 . x_{n}=4 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте разберем вашу задачу по частям.

### Часть 1: Формулы дифференцирования

1. **Производные элементарных функций:**
   - $$ C $$ (константа): $$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$
   - $$ x $$: $$ \frac{d}{dx}(x) = 1 $$
   - $$ kx + m $$: $$ \frac{d}{dx}(kx + m) = k $$
   - $$ x^2 $$: $$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$
   - $$ \frac{1}{x} $$: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} $$
   - $$ \sqrt{x} $$: $$ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
   - $$ \sin x $$: $$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$
   - $$ \cos x $$: $$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $$

2. **Правила дифференцирования:**
   - Производная суммы: $$ \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) $$
   - Производная разности: $$ \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x) $$
   - Производная произведения: $$ \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
   - Производная частного: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$

3. **Формулы дифференцирования функций:**
   - $$ \chi^n $$: $$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$
   - $$ \tan x $$: $$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $$
   - $$ \cot x $$: $$ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x $$

4. **Правило дифференцирования функции $$ kx + m $$:**
   - $$ \frac{d}{dx}(kx + m) = k $$

### Выполнение заданий

1. **Найдите производные следующих функций:**
   a) $$ y = x^4 - 7x^2 + 6 $$
   $$
   \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 14x
   $$

b) $$ y = 8 \tan x - \sin x $$
   $$
   \frac{dy}{dx} = 8 \sec^2 x - \cos x
   $$

c) $$ y = (x^2 + 3)(x^4 - 1) $$
   Используем правило произведения:
   $$
   \frac{dy}{dx} = (2x)(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3) = 2x(x^4 - 1) + 4x^3(x^2 + 3)
   $$

2. **Найдите значение производной функции в точке $$ x_0 $$:**
   a) $$ y = x^3 + 8x - 4, \quad x_0 = 1 $$
   $$
   \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 8
   $$
   Подставляем $$ x_0 = 1 $$:
   $$
   \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 + 8 = 3 + 8 = 11
   $$

b) $$ r = \frac{1}{r} - 6, \quad x_0 = 1 $$
   Здесь необходимо уточнить, что вы имеете в виду, так как уравнение не совсем ясно. Если это уравнение для $$ r $$, то нужно его решить.

c) $$ y = \sqrt{x} + 5, \quad x_0 = 4 $$
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
   $$
   Подставляем $$ x_0 = 4 $$:
   $$
   \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=4} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}
   $$

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить что-то, дайте знать!
### Формулы и правила дифференцирования: 1. **Производные элементарных функций:** - $$ C $$: 0 - $$ x $$: 1 - $$ kx + m $$: $$ k $$ - $$ x^2 $$: $$ 2x $$ - $$ \frac{1}{x} $$: $$ -\frac{1}{x^2} $$ - $$ \sqrt{x} $$: $$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ - $$ \sin x $$: $$ \cos x $$ - $$ \cos x $$: $$ -\sin x $$ 2. **Правила дифференцирования:** - **Сумма:** $$ \frac{d}{dx}(f + g) = f' + g' $$ - **Разность:** $$ \frac{d}{dx}(f - g) = f' - g' $$ - **Произведение:** $$ \frac{d}{dx}(f \cdot g) = f'g + fg' $$ - **Частное:** $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ 3. **Формулы для $$ \chi^n $$, $$ \tan x $$, $$ \cot x $$:** - $$ \chi^n $$: $$ n\chi^{n-1} $$ - $$ \tan x $$: $$ \sec^2 x $$ - $$ \cot x $$: $$ -\csc^2 x $$ 4. **Правило дифференцирования $$ kx + m $$:** - $$ \frac{d}{dx}(kx + m) = k $$ ### Выполнение заданий: 1. **Производные функций:** a) $$ y = x^4 - 7x^2 + 6 $$: $$ \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 14x $$ b) $$ y = 8 \tan x - \sin x $$: $$ \frac{dy}{dx} = 8 \sec^2 x - \cos x $$ c) $$ y = (x^2 + 3)(x^4 - 1) $$: $$ \frac{dy}{dx} = 2x(x^4 - 1) + 4x^3(x^2 + 3) $$ 2. **Значения производных в точках:** a) $$ y = x^3 + 8x - 4 $$ при $$ x_0 = 1 $$: $$ \frac{dy}{dx} = 11 $$ b) $$ r = \frac{1}{r} - 6 $$ при $$ x_0 = 1 $$: Неясно, нужно уточнить уравнение. c) $$ y = \sqrt{x} + 5 $$ при $$ x_0 = 4 $$: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} $$ Если есть дополнительные вопросы, дайте знать!

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions