\( \qquad \) . .2025 Праклнческая работа N.16. Формулы н прави Исследованне функций с помощью пронзводн A60.1bшee н нанsенbшee значення Функции. Часть 1. Формулы п правила дифференцирования. Теоретический матернал для изучения: Учебннк по алтебре н началам математнческого ана.твза (автор Мордковнч А.Г.) §28. Oтветьте на вопросы: 1. Запишнгте формулы дифферениирования (чему равны производные следуюших элеменгарных функииі̆): \( C \) (const), \( x,(k x+m),\left(x^{2}\right), \frac{1}{x^{1}} \sqrt{x}, \sin x, \cos x \) 2. Выпииите правила длфференцирования (можно в виде формул): пропзводная суммы ити разности, что можно делать с постоянным множителем, производная произведения, производная частного. 3. Запишите формулы дифференцирования функшй \( \chi^{n} \) tgx, \( \operatorname{ctg} x \). 4. Запишите правило дифференцирования функции (kx+m). Выполните залания: 1. Найдите производные следующих функиий: a) \( \left.y=x^{4}-7 x^{2} ; 6\right)^{y-8 \sqrt{x}+\frac{1}{x}} \); B) \( y=8 \operatorname{tg} x-\sin x \); r) \( y=\left(x^{2}+3\right)\left(x^{4}-1\right) \) 2. Найдите значение пронзводной функини в точке хо: a) \( y=x^{3}+8 x-4, x_{0}=1 \). (0) \( r=\frac{1}{r}-6, x_{0}=1 \) ; B) \( y=\sqrt{x}+5 . x_{n}=4 \)

Давайте разберем вашу задачу по частям. ### Часть 1: Формулы дифференцирования 1. **Производные элементарных функций:** - \( C \) (константа): \( \frac{d}{dx}(C) = 0 \) - \( x \): \( \frac{d}{dx}(x) = 1 \) - \( kx + m \): \( \frac{d}{dx}(kx + m) = k \) - \( x^2 \): \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \) - \( \frac{1}{x} \): \( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \) - \( \sqrt{x} \): \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) - \( \sin x \): \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \) - \( \cos x \): \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \) 2. **Правила дифференцирования:** - Производная суммы: \( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) \) - Производная разности: \( \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x) \) - Производная произведения: \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \) - Производная частного: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \) 3. **Формулы дифференцирования функций:** - \( \chi^n \): \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) - \( \tan x \): \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \) - \( \cot x \): \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \) 4. **Правило дифференцирования функции \( kx + m \):** - \( \frac{d}{dx}(kx + m) = k \) ### Выполнение заданий 1. **Найдите производные следующих функций:** a) \( y = x^4 - 7x^2 + 6 \) \[ \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 14x \] b) \( y = 8 \tan x - \sin x \) \[ \frac{dy}{dx} = 8 \sec^2 x - \cos x \] c) \( y = (x^2 + 3)(x^4 - 1) \) Используем правило произведения: \[ \frac{dy}{dx} = (2x)(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3) = 2x(x^4 - 1) + 4x^3(x^2 + 3) \] 2. **Найдите значение производной функции в точке \( x_0 \):** a) \( y = x^3 + 8x - 4, \quad x_0 = 1 \) \[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 8 \] Подставляем \( x_0 = 1 \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 + 8 = 3 + 8 = 11 \] b) \( r = \frac{1}{r} - 6, \quad x_0 = 1 \) Здесь необходимо уточнить, что вы имеете в виду, так как уравнение не совсем ясно. Если это уравнение для \( r \), то нужно его решить. c) \( y = \sqrt{x} + 5, \quad x_0 = 4 \) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Подставляем \( x_0 = 4 \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=4} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \] Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить что-то, дайте знать!