Al Simplificar al máximo la expresión $$ \frac{x+2}{x+1}+\frac{3 x-1}{x-5}-\frac{3 x^{2}-5}{x^{2}-4 x-5} $$ Se obtiene como resultado.

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Sea la expresión

$$
\frac{x+2}{x+1}+\frac{3x-1}{x-5}-\frac{3x^2-5}{x^2-4x-5}.
$$

**Paso 1. Factorizar el denominador del tercer término**

Observamos que en el denominador del tercer término:

$$
x^2-4x-5
$$

se puede factorizar buscando dos números que al multiplicarlos den $$-5$$ y al sumarlos $$ -4$$. Es fácil verificar que

$$
x^2-4x-5=(x+1)(x-5).
$$

**Paso 2. Reescribir la expresión con denominador común**

Reemplazamos el denominador en el tercer término:

$$
\frac{x+2}{x+1}+\frac{3x-1}{x-5}-\frac{3x^2-5}{(x+1)(x-5)}.
$$

El denominador común para todos los términos es $$(x+1)(x-5)$$. Se reescriben cada uno de los términos:

- Para el primer término:

$$
\frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+2)(x-5)}{(x+1)(x-5)}
$$

- Para el segundo término:

$$
\frac{3x-1}{x-5} = \frac{(3x-1)(x+1)}{(x-5)(x+1)}
$$

- Y el tercer término ya tiene el denominador deseado.

Así, la expresión se convierte en:

$$
\frac{(x+2)(x-5)}{(x+1)(x-5)}+\frac{(3x-1)(x+1)}{(x+1)(x-5)}-\frac{3x^2-5}{(x+1)(x-5)}.
$$

**Paso 3. Combinar los términos en un único cociente**

Al tener el mismo denominador, se suman y restan los numeradores:

$$
\frac{(x+2)(x-5) + (3x-1)(x+1) - (3x^2-5)}{(x+1)(x-5)}.
$$

**Paso 4. Expandir y simplificar el numerador**

1. Expandir $$(x+2)(x-5)$$:

$$
(x+2)(x-5)=x^2 -5x+2x-10=x^2-3x-10.
$$

2. Expandir $$(3x-1)(x+1)$$:

$$
(3x-1)(x+1)=3x^2+3x-x-1=3x^2+2x-1.
$$

Entonces, el numerador queda:

$$
x^2-3x-10+3x^2+2x-1-(3x^2-5).
$$

Es importante distribuir el signo negativo al último paréntesis:

$$
x^2-3x-10+3x^2+2x-1-3x^2+5.
$$

Agrupamos términos semejantes:

- Términos en $$x^2$$: $$x^2+3x^2-3x^2=x^2$$.
- Términos en $$x$$: $$-3x+2x=-x$$.
- Términos constantes: $$-10-1+5=-6$$.

El numerador simplificado es:

$$
x^2 - x - 6.
$$

**Paso 5. Factorizar el numerador**

Se factoriza $$x^2 - x - 6$$ buscando dos números que multiplicados sean $$-6$$ y sumados sean $$-1$$. Es fácil notar que:

$$
x^2-x-6=(x-3)(x+2).
$$

**Paso 6. Escribir la expresión final simplificada**

La expresión completa queda:

$$
\frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x-5)}.
$$
La expresión simplificada es $$ \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x-5)} $$.

Al Simplificar al máximo la expresión

Se obtiene como resultado.

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Al Simplificar al máximo la expresión Se obtiene como resultado.