Calcolare l'area compresa tra i grafici delle funzioni $$ y=x^{2} $$ e $$ y=x $$ per $$ 0

Question

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Per calcolare l'area compresa tra i grafici delle funzioni $$ y = x^2 $$ e $$ y = x $$ nell'intervallo $$ 0 < x < 1 $$, seguiamo questi passaggi:

1. **Troviamo i punti di intersezione** delle due curve. Impostiamo l'equazione:
   $$
   x^2 = x
   $$
   Risolvendo, otteniamo:
   $$
   x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0
   $$
   I punti di intersezione sono $$ x = 0 $$ e $$ x = 1 $$.

2. **Identifichiamo quale funzione è sopra l'altra** nell'intervallo $$ (0, 1) $$. 
   - Per $$ x = 0.5 $$:
     $$
     y = (0.5)^2 = 0.25 \quad \text{e} \quad y = 0.5
     $$
     Quindi, $$ y = x $$ è sopra $$ y = x^2 $$ nell'intervallo $$ (0, 1) $$.

3. **Calcoliamo l'area** tra le due curve. L'area $$ A $$ è data da:
   $$
   A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx
   $$

4. **Calcoliamo l'integrale**:
   $$
   A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx
   $$

Calcoliamo i singoli integrali:
   $$
   \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}
   $$
   $$
   \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}
   $$

5. **Sottraiamo i risultati**:
   $$
   A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
   $$

Quindi, l'area compresa tra i grafici delle funzioni $$ y = x^2 $$ e $$ y = x $$ per $$ 0 < x < 1 $$ è $$ \frac{1}{6} $$.

La risposta corretta è:
**d. $$ \frac{1}{6} $$**.
L'area compresa tra $$ y = x^2 $$ e $$ y = x $$ per $$ 0 < x < 1 $$ è $$ \frac{1}{6} $$.

Calcolare l'area compresa tra i grafici delle funzioni \( y=x^{2} \) e \( y=x \) per \( 0

Ask by Wheeler Coleman. in San Marino

Feb 04,2025

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