7. Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest równa 140 . Stosunek długości krawędzi podstawy do długości krawędzi bocznej wynosi \( 2: 3 \). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Aby rozwiązać ten problem, najpierw określimy długości krawędzi podstawy i krawędzi bocznej ostrosłupa. Oznaczmy krawędź podstawy jako \( 2x \) (zgodnie ze stosunkiem 2:3), a krawędź boczną jako \( 3x \). Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 4 krawędzi podstawy i 4 krawędzi bocznych, zatem suma długości krawędzi wynosi: \[ 4(2x) + 4(3x) = 8x + 12x = 20x \] Z równania \( 20x = 140 \) wynika, że \( x = 7 \). Zatem długości krawędzi podstawy to \( 2x = 14 \), a długości krawędzi bocznej to \( 3x = 21 \). Następnie obliczamy pole powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa można obliczyć jako sumę pól 4 trójkątnych ścian bocznych. Pole pojedynczej ściany bocznej (trójkąta) o podstawie \( 14 \) i wysokości równoległej do krawędzi bocznej \( 21 \) obliczamy przy pomocy wzoru na pole trójkąta: \[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 21 \] Pole jednego trójkąta to: \[ P = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 21 = 147 \] Zatem pole powierzchni bocznej całego ostrosłupa wynosi: \[ P_b = 4 \cdot 147 = 588 \] Podsumowując, pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi 588 jednostek kwadratowych.