8. Fie $$ A: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3}, A(x)=\left(\frac{1}{2} x_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}, x_{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{3}\right) $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in $$ $$ \mathbf{R}^{3} $$. Să se afle adjunctul lui $$ A $$ şi să se verifice că $$ A $$ este operator ortogonal. Este $$ A $$ autoad- junct?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru operatorul linear $$ A: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} $$ definit prin
$$
A(x) = \left( \frac{1}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}, \; x_{2}, \; -\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{3} \right)
$$
pentru orice $$ x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \mathbf{R}^{3} $$, procedăm astfel:

### 1. Determinarea adjunctului lui $$ A $$

Adjunctul unui operator linear într-un spațiu vectorial real este reprezentat de matricea transpusă a matricei operatorului respectiv. Matricea lui $$ A $$ este:
$$
A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
Prin urmare, adjunctul operatorului $$ A $$, notat $$ A^* $$, este:
$$
A^* = A^{T} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$

### 2. Verificarea faptului că $$ A $$ este operator ortogonal

Un operator este ortogonal dacă matricea sa mulțită cu adjunctul său dă matricea identitate, adică $$ A^{T}A = I $$.

Calculăm produsul $$ A^{T}A $$:
$$
A^{T}A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = I
$$
Astfel, $$ A^{T}A = I $$, deci $$ A $$ este un operator ortogonal.

### 3. Verificarea dacă $$ A $$ este autoadjunct

Un operator este autoadjunct dacă $$ A = A^{*} $$, adică dacă matricea sa este simetrică.

Comparând $$ A $$ cu $$ A^{T} $$:
$$
A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}, \quad
A^{*} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
Observăm că elementele $$ (1,3) $$ și $$ (3,1) $$ au semne opuse: $$ A_{1,3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$, în timp ce $$ A^{*}_{1,3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$. Prin urmare, $$ A \neq A^{*} $$, ceea ce înseamnă că $$ A $$ **nu** este operator autoadjunct.

### **Concluzie**

- **Adjunctul lui $$ A $$** este matricea transpusă a lui $$ A $$:
$$
A^{*} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \
0 & 1 & 0 \
\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
- **Operatorul $$ A $$ este ortogonal**, deoarece $$ A^{T}A = I $$.
- **Operatorul $$ A $$ nu este autoadjunct**, deoarece $$ A \neq A^{*} $$.
Adjunctul lui $$ A $$ este: $$ A^{*} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \ 0 & 1 & 0 \ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$ Operatorul $$ A $$ este ortogonal, dar nu este autoadjunct.

Fie pentru orice
. Să se afle adjunctul lui şi să se verifice că este operator ortogonal. Este autoad-
junct?

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Determinarea adjunctului lui

2. Verificarea faptului că este operator ortogonal

3. Verificarea dacă este autoadjunct

Concluzie

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Other Questions

Fie pentru orice . Să se afle adjunctul lui şi să se verifice că este operator ortogonal. Este autoad- junct?