8. Fie \( A: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3}, A(x)=\left(\frac{1}{2} x_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}, x_{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{3}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \) \( \mathbf{R}^{3} \). Să se afle adjunctul lui \( A \) şi să se verifice că \( A \) este operator ortogonal. Este \( A \) autoad- junct?

Pentru operatorul linear \( A: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} \) definit prin \[ A(x) = \left( \frac{1}{2} x_{1} + \frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}, \; x_{2}, \; -\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{3} \right) \] pentru orice \( x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \mathbf{R}^{3} \), procedăm astfel: ### 1. Determinarea adjunctului lui \( A \) Adjunctul unui operator linear într-un spațiu vectorial real este reprezentat de matricea transpusă a matricei operatorului respectiv. Matricea lui \( A \) este: \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] Prin urmare, adjunctul operatorului \( A \), notat \( A^* \), este: \[ A^* = A^{T} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] ### 2. Verificarea faptului că \( A \) este operator ortogonal Un operator este ortogonal dacă matricea sa mulțită cu adjunctul său dă matricea identitate, adică \( A^{T}A = I \). Calculăm produsul \( A^{T}A \): \[ A^{T}A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I \] Astfel, \( A^{T}A = I \), deci \( A \) este un operator ortogonal. ### 3. Verificarea dacă \( A \) este autoadjunct Un operator este autoadjunct dacă \( A = A^{*} \), adică dacă matricea sa este simetrică. Comparând \( A \) cu \( A^{T} \): \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad A^{*} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] Observăm că elementele \( (1,3) \) și \( (3,1) \) au semne opuse: \( A_{1,3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), în timp ce \( A^{*}_{1,3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Prin urmare, \( A \neq A^{*} \), ceea ce înseamnă că \( A \) **nu** este operator autoadjunct. ### **Concluzie** - **Adjunctul lui \( A \)** este matricea transpusă a lui \( A \): \[ A^{*} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] - **Operatorul \( A \) este ortogonal**, deoarece \( A^{T}A = I \). - **Operatorul \( A \) nu este autoadjunct**, deoarece \( A \neq A^{*} \).